Teorema Faktor – Media Masyarakat

[]).push();

Daftar Isi

Pengertian dan Pembuktian Teorema Faktor

Teorema faktoradalah sebuah pernyataan biimplikasiatau implikasi dua arah (Sartono W, 2007).

Teorema faktor ialah sebagai berikut:

(x – k ) ialah faktor dari f(x) bila dan hanya jikalau f(k) = 0

Bukti teorema faktor:

Misalkan (x – k ) merupakan faktor dari f(x), maka

f(x) = (x – k ). H(x) …..(1)

H(x) merupakan hasil bagi, subtitusikan nilai x = kkepersamaan (1),

f(k) = (k – k ). H(k) …..(1)

f(k) = 0

Kaprikornus terbukti kalau (x – k ) adalah faktor dari f(x) maka f(k) = 0.

Soal Teorema Faktor dan Pembahasannya

Agar lebih terang tentang aplikasi teorema faktor amati soal-soal dibawah ini!

1). Tentukan nilai m bila x³+ mx² – 11x + 30 memiliki aspek (x + 3)

[Penyelesaian]

Sesuai dengan teorema aspek, maka:
$\dpi100 \fn_jvn \\f(x)=x^3+mx^2-11x+30 \\f(-3)=0 \\(-3)^3+m.(-3)^2-11.(-3)+30=0 \\9m=36 \\\mathbfm=4$

2). Jika salah satu akar dari x³+ ax² + 6x – 2 yaitu 1. Tentukanlah nilai a dan akar yang yang lain.

[Penyelesaian]

Soal seperti ini dapat diatasi dengan teorema aspek,

Misalkan f(x) = x³+ ax² + 6x – 2 , maka,

$\dpi100 \fn_jvn \\f(1)=0 \\1^3+a.1^2+6.1-2=0 \\a=-5$

Jadi , suku banyak semula menjadi:
$\dpi100 \fn_jvn \\f(x)=x^3-5x^2+6x-2 \\(x-1)(x^2-4x+2)=0\, .....(1) \\x_1=1\, \, atau\, \, x_2=2\pm \sqrt2$

Nilai x₂ mampu dihitung dengan memakai rumus abc dan bentuk pada (1) dapat diputuskan dengan sistem horner yang sudah dibahas sebelumnya.

Jadi , nilai a = – 5 dan akar yang lain adalah 2± √2

3). Jika 3 dan – 2 yakni akar-akar dari $\dpi100 \fn_jvn x^4+ax^3+ax^2+11x+b=0$

Tentukanlah nilai a dan b.

[Penyelesaian]

Misalkan f(x) = x⁴ + ax³ + ax² + 11x + b = 0 , maka menggunakan teorema aspek:

$\dpi100 \fn_jvn \\ (3)^4+a(3)^3+a(3)^2+11.3+b=0 \\81+27a+9a+33+b=0 \\36a+b=-114\, .......(1)$

lalu,
$\dpi100 \fn_jvn \small \\f(-2)=0 \\(-2)^4+a.(-2)^3+a.(-2)^2+11.(-2)+b=0 \\16-8a+4a-22+b=0 \\4a-b=-6\, ....(2)$

Dengan eliminasi persamaan (1) + (2), maka diperoleh:

a = – 3, dan b = – 6

4). Dengan menggunakan teorema aspek tunjukkan bahwa (x + y) adalah aspek dari $\dpi100 \fn_jvn \small x^3+4x^2y+4xy^2+y^3+y$

[Penyelesaian]

Hanya perlu dibuktikan bahwa f( – y) = 0, maka:
$\dpi100 \fn_jvn \small \\f(x) =x^3+4x^2y+4xy^2+y^3+x+y \\f(-y)=(-y)^3+4(-y)^2.y+4(-y).y^3+(-y)+y \\f(-y)=-y^3+4y^3-4y^3+y^3-y+y \\f(-y)=0$

Karena f(–y)=0 jadi (x+y) ialah faktor dari $\dpi100 \fn_jvn \small x^3+4x^2y+4xy^2+y^3+x+y$

Menentukan Faktor-aspek Suatu Suku Banyak

Setelah mengetahui teorema aspek, barulah akan dipelajari bagaimana cara memilih aspek-faktor dari suatu suku banyak. Adapun langkah-langkah atau algoritma nya ialah:

Langkah I

Tentukan terlebih dahulu (x – k) konstanta a₀ suku banyak $\dpi100 \fn_jvn \small f(x)=a_nx^n+a_n-1x^n-1+...+a_2x^2+a_1x+a_0$ , maka nilai k yang mungkin ialah aspek-faktor bundar dari a₀.

Langkah II

Dengan mencoba-coba semua aspek bundar a₀ sampai diperoleh f(aspek bundar a₀) = 0

Langkah III

Jika sudah didapat sebuah faktor bundar a₀ misalkan k maka untuk menentukan aspek yang lain bagilah suku banyak f(x) dengan (x –k)

Seperti itulah tindakan atau algoritma menentukan faktor-aspek suku banyak dengan teorema aspek. Agar lebih terang amati setiap pola soal dibawah ini!

1).Tentukan aspek-faktor dari setiap suku banyak dibawah ini!

a. f(x) = x³+ 3x² – 18x – 40

b. f(x) = 2x⁴– 7x³ – 2x² + 13 x +6

Teorema Aspek

[Penyelesaian]

(a) f(x) = x³ + 3x² – 18x – 40

Langkah I:

Nilai konstanta dari suku banyak diatas adalah –40, maka semua aspek bundar dari –40 ialah ±1, ±2, ±4, ±5, ±8 , ± 10, ±20, ±40

Langkah II:

Dengan mencoba-coba aspek-aspek bulat dari –40 diperoleh x = –2 sehingga f(–2) = 0, yakni:
$\dpi100 \fn_jvn \small \\f(-2) = (-2)^3+3.( -2)^2-18.( -2)-40 \\f(-2)=-8+12+36-40 \\f(-2)=0$

Langkah III:

Nilai f(x) = 0 sudah diperoleh yakni x = –2 jadi f(x) akan habis dibagi (x + 2), maka aspek-aspek yang lain dapat dicari dengan tata cara horner

Dari denah diatas hasil baginya yakni x²+ x – 20 sehingga,

$http://soulmath4u.blogspot.com/2014/03/teorema-faktor.html$

Kaprikornus faktor-aspek linier dari f(x) = x³ + 3x² – 18x – 40 ialah (x+2)(x-4)(x+5).

(b) f(x) = 2x⁴ – 7x³ – 2x² + 13 x +6

mirip pada teladan a konstanta dari f(x) adalah 6, dan semua aspek bundar dari 6 adalah ±1, ±2, ±3, ±6. Setelah mencoba-coba mensubtitusikan aspek-faktor tersebut pada f(x) diperoleh f(-1) = 0 maka aspek f(x) yaitu (x +1 ) dan faktor yang lain dapat ditentukan dengan sistem horner yaitu,

dari sketsa tersebut hasil bagi nya 2x³ – 9x² + 7x + 6 , jadi:

$\\f(x)=2x^4-9x^2+7x+6 \\f(x)=(x+1)\colorRed (2x^3-9x^2+7x+6) \\f(x)=(x+1)\colorRed (x-2)(2x^2-5x-3) \\f(x)=(x+1)\colorRed (x-2)(2x+1)(x-3)$

Untuk bagian yang warna merah diperoleh juga dari cara horner, yang langkah-langkahnya tidak aku buat disini! coba buat sendiri ya, sebagai latihan!

2.Selesaikanlah persamaan 3x³ + 5x² – 4x – 4 = 0

[Penyelesaian]

Misalkan f(x) = 3x³ + 5x² – 4x – 4 = 0 dengan menggunakan teorema aspek mampu ditentukan faktor-faktor linier dari persamaan diatas. Faktor-faktor bundar dari konstanta –4 adalah ±1, ±2, ±4, sesudah mencoba-coba faktor-aspek tersebut diperoleh f(1) = 0, maka :