6 Macam Tata Cara Memilih Solusi Spldv + Teladan Soal Dan Pembahasan
→
2x – 2y
=
20
−
3y
=
-12
y
=
-4
Dengan demikian, kita dapatkan bahwa nilai x = 6 dan y = -4 sehingga himpunan solusi dari tata cara persamaan di atas ialah (6, -4).
4. Penyelesaian SPLDV Metode Gabungan
Metode adonan yaitu sebuah metode yang digunakan untuk mencari himpunan penyelesaian SPLDV dengan cara menggabungkan dua tata cara sekaligus, yakni tata cara eliminasi dan sistem subtitusi.
Pertama, memakai tata cara eliminasi untuk mencari salah satu nilai variabelnya, setelah nilai variabel diperoleh, maka nilai variabel tersebut disubtitusikan ke dalam salah satu persamaan untuk mendapatkan nilai variabel lainnya.
Agar tidak resah, mari kita coba selesainkan sistem persamaan linear dua variabel berikut ini.
x + y = 7
x – y = 3
Dengan menggunakan sistem adonan, tindakan solusi SPLDV di atas adalah selaku berikut.
Langkah 1 (eliminasi salah satu variabel)
Pertama, kita akan mengeliminasi (menghilangkan) salah satu variabel, contohnya x. Karena koefisien x pada kedua persamaan telah sama maka kita mampu langsung mengurangkan kedua persamaan tersebut, ialah sebagai berikut.
|
x+ y
|
=
|
7
|
|
|
x – y
|
=
|
3
|
−
|
|
2y
|
=
|
4
|
|
|
y
|
=
|
2
|
|
Langkah 2 (subtitusi nilai variabel yang sudah diperoleh)
Selanjutnya, untuk mendapatkan nilai x, kita dapat mensubtitusikan nilai y ke salah satu persamaan, misalnya persamaan x + y = 7, sehingga diperoleh:
x + y = 7
x + 2 = 7
x = 7 – 2
x = 5
Dengan demikian, kita peroleh bahwa nilai x = 5 dan y = 2 sehingga himpunan solusi dari tata cara persamaan di atas adalah (5, 2).
Contoh Soal:
Dengan menggunakan metode adonan, carilah himpunan solusi dari metode persamaan berikut ini.
2x + y = 8
x – y = 10
Jawab
Dari kedua persamaan di atas, kita mampu menyaksikan bahwa koefisien yang serupa dimiliki oleh peubah (variabel) y. Dengan demikian, variabel y dapat kita eliminasi (hilangkan) dengan cara dijumlahkan, sehingga nilai x mampu kita pastikan dengan cara berikut ini.
|
2x + y
|
=
|
8
|
|
|
x – y
|
=
|
10
|
+
|
|
3x
|
=
|
18
|
|
|
x
|
=
|
6
|
|
Selanjutnya, kita akan memilih nilai y dengan cara mensubtitusikan nilai x ke salah satu persamaan, contohnya persamaan x – y = 10. Sehingga kita peroleh hasil sebagai berikut.
x – y = 10
6 – y = 10
y = 6 – 10
y = -4
Dengan demikian, kita peroleh bahwa nilai x = 6 dan y = -4 sehingga himpunan penyelesaian dari metode persamaan di atas yaitu (6, -4).
5. Penyelesaian SPLDV Metode Determinan
Metode determinan sering juga disebut dengan metode cramer. Determinan adalah suatu bilangan yang berkaitan dengan matriks bujur kandang (persegi). Determinan dapat pula digunakan untuk mencari penyelesaian metode persamaan linear baik dua variabel (SPLDV) maupun tiga variabel (SPLTV).
Langkah-langkah untuk memilih himpunan penyelesaian dengan metode determinan ialah sebagai berikut.
Langkah Pertama, ubahlah metode persamaa linear dua variabel ke dalam bentuk matriks, ialah selaku berikut.
Misalkan terdapat sistem persamaan berikut.
ax + by = e
cx + dy = f
persamaan di atas kita ubah menjadi bentuk berikut
A . X = B …………… Pers. (1)
Dengan:
|
A
|
=
|
a
|
b
|
|
c
|
d
|
|
X
|
=
|
x
|
|
y
|
|
B
|
=
|
e
|
|
f
|
Sehingga persamaan 1 di atas menjadi bentuk matriks berikut.
|
a
|
b
|
|
x
|
=
|
e
|
|
c
|
d
|
|
y
|
f
|
Langkah Kedua, tentukan nilai determinan matriks A (D), determinan x (Dx) dan determinan y (Dy)dengan persamaan berikut.
|
D
|
=
|
a
|
b
|
=
|
ad − bc
|
|
c
|
d
|
D ialah determinan dari matriks A.
|
Dx
|
=
|
e
|
b
|
=
|
de − bf
|
|
f
|
d
|
Dx yaitu determinan dari matriks A yang kolom pertama diganti dengan komponen-unsur matriks B.
|
Dy
|
=
|
a
|
e
|
=
|
af − ce
|
|
c
|
f
|
Dy yakni determinan dari matriks A yang kolom kedua diganti dengan bagian-komponen matriks B.
Langkah Ketiga, pastikan nilai x dan y dengan persamaan berikut.
|
x
|
=
|
Dx
|
dan
|
y
|
=
|
Dy
|
|
D
|
D
|
Contoh Soal:
Dengan memakai sistem determinan, tentukanlah himpunan penyelesaian dari sistem persamaan berikut ini.
2x + y = 3
3x + 5y = 1
Jawab:
Pertama, kita ubah metode persamaan di atas ke dalam bentuk matriks berikut
|
2
|
1
|
|
x
|
=
|
3
|
|
3
|
5
|
y
|
1
|
Kedua, kita pastikan nilai D, Dx dan Dy dengan ketentuan mirip pada langkah-langkah di atas.
|
D
|
=
|
2
|
1
|
=
|
(2)(5) – (1)(3) = 10 – 3 = 7
|
|
3
|
5
|
|
Dx
|
=
|
3
|
1
|
=
|
(3)(5) – (1)(1) = 15 – 1 = 14
|
|
1
|
5
|
|
Dy
|
=
|
2
|
3
|
=
|
(2)(1) – (3)(3) = 2 – 9 = -7
|
|
3
|
1
|
Ketiga, kita pastikan nilai x dan y menggunakan nilai-nilai determinan di atas.
x = Dx/D = 14/7 = 2
y = Dy/D = -7/7 = -1
Dengan demikian, himpunan solusi dari metode persamaan linear di atas yakni HP = (2, -1).
6. Penyelesaian SPLDV Metode Invers Metrik
Bentuk biasa tata cara persamaan linear dua variabel ialah:
ax + by = p …………… Pers. (a)
cx + dy = q …………… Pers. (b)
Persamaan (a) dan (b) di atas mampu kita susun ke dalam bentuk matriks mirip di bawah ini.
AX = B
Matriks A memuat koefisien-koefisien kedua persamaan. Matriks X memuat variabel x dan y. Sedangkan matriks B memuat konstanta kedua persamaan linear. Dengan demikian, bentuk matriks AX = B ialah sebagai berikut
|
a
|
b
|
|
x
|
=
|
p
|
|
c
|
d
|
y
|
q
|
Tujuan menuntaskan tata cara persamaan linear dua variabel yakni untuk menentukan nilai x dan nilai y yang menyanggupi persamaan tersebut. Oleh sebab itu, bentuk matriks AX = B harus kita ubah menjadi bentuk invers seperti berikut.
AX = B
X = A-1B
A-1 ialah invers matriks A. Bentuk matriks dari X = A-1B yakni sebagai berikut.
|
x
|
=
|
1
|
|
d
|
−b
|
|
p
|
|
y
|
ad – bc
|
−c
|
a
|
q
|
Nah, rumus inilah yang dipakai untuk memilih nilai x dan y dari tata cara persamaan linear dua variabel.
Contoh Soal:
Dengan memakai sistem invers matriks, pastikan himpunan penyelesaian dari sistem persamaan linear dua variabel berikut ini.
2x – 3y = 3
x + 2y = 5
Pembahasan
Pertama, kita ubah SPLDV di atas menjadi bentuk matriks AX = B
|
2
|
−3
|
|
x
|
=
|
3
|
|
1
|
2
|
y
|
5
|
Kedua, kita ubah matriks AX = B menjadi bentuk invers X = A-1B
|
x
|
=
|
1
|
|
2
|
−(-3)
|
|
3
|
|
y
|
(2)(2) – (-3)(1)
|
−1
|
2
|
5
|
|
x
|
=
|
1
|
|
2
|
3
|
|
3
|
|
y
|
4 – (-3)
|
−1
|
2
|
5
|
|
x
|
=
|
1
|
|
2
|
3
|
|
3
|
|
y
|
7
|
−1
|
2
|
5
|
Ketiga, tuntaskan persamaan matriks di atas
|
x
|
=
|
1
|
|
6 + 15
|
|
y
|
7
|
−3 + 10
|
|
x
|
=
|
1
|
|
21
|
|
y
|
7
|
7
|
|
x
|
=
|
21/7
|
|
y
|
7/7
|
|
x
|
=
|
3
|
|
y
|
1
|
Jadi, kita dapatkan nilai x = 3 dan nilai y = 1. Dengan demikian, himpunan penyelesaian tata cara persamaan linear di atas ialah HP = (3, 1).