Soal Olimpiade Matematika Sma

Soal Olimpiade matematika Sekolah Menengan Atas – Tentunya dengan Soal Olimpiade matematika SMA yang kami sampikan ini akan bisa menciptakan anda mampu memahami dan mengerti Soal Olimpiade matematika Sekolah Menengan Atas yang kami sampikan buat anda semua. Soal yang kami berikan juga akan menawarkan pembahasaan dan juga kunci jawabannya sehingga anda tidak butuhkawatir perihal Soal Olimpiade matematika Sekolah Menengan Atas yang kami sampaikan tersebut.

Ini akan sangat membuat lebih mudah buat anda semua yang ingin mencar ilmu Soal Olimpiade matematika Sekolah Menengan Atas tersebut. Disini admin kunci balasan menawarkan banyak sekali soal-soal dan pembahasan untuk mampu anda pelajari juga sehingga anda memahami tentang soal yang saat ini anda ingin pelajari.

Untuk selengkapnya tentang Soal Olimpiade matematika SMA tersebut kamu mampu simak dibawah ini selengkapnya buat anda semua, semoga bisa menjadi faedah untuk pelajaraan anda saat ini.

Soal Olimpiade matematika SMA 2017, 2018, 2019, 2020, 2021

Berikut ini beberapa teori-teori dalam matematika yang umumnya dipakai untuk menuntaskan soal-soal OSN matematika SMA 2017 2018 2019 2020 2021.

Daftar Isi

1. Ketaksamaan AM – GM dan QM – AM – GM – HM

Ketaksamaan AM – GM ialah ketaksamaan yang paling sering dipakai dalam olimpiade matematika SMA. AM kepanjangannya adalah Arithmetic Means atau rata-rata aritmatika, dan GM kepanjangannya yaitu Geometric Means atau rata-rata geometris.

Sifat ketaksamaan: $AM \geq GM$ Jika x dan y ialah bilangan real faktual, maka berlaku ketaksamaan:

Soal Jlpt N5

$\frac{x_1 + x_2 + \cdots + x_n}{n} \geq \sqrt[n]{x_1 x_2 \cdots x_n}$

Kesamaan didapat dikala $x_1 = x_2 = \cdots = x_n$ Ruas kiri ialah AM dan ruas kanan ialah GM. Kesamaan ini didapat dari sifat bahwa kuadrat dari suatu bilangan selalu aktual.

Berikut ini bukti ketaksamaan AM – GM untuk 2 bilangan:

Misal p dan q yang keduanya merupakan bilangan real nyata.
Karena kuadrat suatu bilangan senantiasa konkret, maka kita mampu:

$(\sqrt{p}-\sqrt{q})^2 \geq 0$ $p-2\sqrt{pq} + q \geq 0$ $p + q \geq 2\sqrt{pq}$ $\frac{p + q}{2} \geq \sqrt{pq}$
Terbukti.

Selain ketaksamaan AM – GM, ada juga sifat ketaksamaan yang lebih luas, yakni ketaksamaan QM – AM – GM – HM. QM merupakan abreviasi dari quadratic means atau rata-rata kuadrat, dan HM ialah singkatan dari harmonic means atau rata-rata serasi.

Sifat ketaksamaan: $QM \geq AM \geq GM \geq HM$ $\sqrt{\frac{x_1^2 + x_2^2 + \cdots + x_n^2}{n}} \geq \frac{x_1 + x_2 + \cdots + x_n}{n} \geq \sqrt{n}{x_1 x_2 \cdots x_n} \geq \frac{n}{\frac{1}{x_1} + \frac{1}{x_2} + \cdots + \frac{1}{x_n}}$

Kesamaan diraih ketika $x_1 = x_2 = \cdots = x_n$

Contoh soal:
Tentukan semua bilangan real x yang memenuhi $x^4 + \frac{1}{x^4} \leq 2$

Jawaban:
Karena pangkat variabel x genap, maka $x^4$ pasti nyata, sehingga berlaku ketaksamaan AM – GM:
$x^4 + \frac{1}{x^4} \geq 2\sqrt{x^4 . \frac{1}{x^4}} = 2$ Karena pada soal dinyatakan bahwa $x^4 + \frac{1}{x^4} \leq 2$ , sedangkan menurut ketaksamaan AM – GM didapat $x^4 + \frac{1}{x^4} \geq 2$ , maka ketaksamaan tersebut cuma dipenuhi bila $x^4 + \frac{1}{x^4} = 2$ .
Kaprikornus, $x$ memenuhi ketaksamaan saat $x^4 = \frac{1}{x^4}$ atau $x^8 = 1$ sehingga $x$ yang menyanggupi adalah $x = 1$ atau $x = -1$

2. Teorema Kecil Fermat

Teorema Fermat yaitu teori matematika yang juga sering dipakai di dalam soal-soal OSN matematika SMA, yaitu pada bab teori bilangan,
Ada dua teorema Fermat yang paling dikenal, yakni teorema kecil Fermat (Fermat’s little theorem) dan teorema terakhir Fermat (Fermat’s last theorem). Tetapi yang sering dipakai dalam menjalankan soal OSN matematika ialah teori yang pertama.

Teorema kecil Fermat
Misalkan a bilangan bulat positif dan suatu bilangan prima, maka:
$a^p \equiv a \, (mod \, p)$ Atau lazimjuga ditulis dengan $a^{p-1} \equiv 1 \, (mod \, p)$ dengan a bilangan lingkaran konkret yang relatif prima terhadap bilangan prima p.
Ini bermakna $a^p - a$ selalu habis dibagi p dengan p merupakan bilangan prima.

Teorema terakhir Fermat

Teorema fermat yang terakhir menyatakan bahwa tidak ada bilangan orisinil $a, b, c$ yang memenuhi $a^n + b^n = c^n$ untuk $n > 2$ (teori fermat yang cukup kontroversial, alasannya adalah menyisihkan persoalan terhadap matematikawan sedunia untuk menerangkan kebenarannya dan sampai saat ini belum ada pembuktian/penjelasan yang dapat diterima oleh penduduk matematika dengan bahasa yang sederhana)

Contoh soal penggunaan teori kecil Fermat:
Hitunglah sisa dari $7^{2013}$ dibagi 41

Penyelesaian:
Berdasarkan teorema Fermat berlaku:
$7^{41-1} \equiv 1 \, (mod \, 41)$ atau $7^{40} \equiv 1 \, (mod \, 41)$
Jelas $2013 = 50 . 40 + 13$ maka:
$7^{2013} \equiv (7^{40})^{50} . 7^{13} \, (mod \, 41)$ $\equiv 1^{50} . 7^{13} \, (mod \, 41)$ $\equiv 7^{13} \, (mod \, 41)$

Menghitung $7^{13} (mod {41})$ :
$7^2 \equiv 49 \equiv 8 \, (mod \, 41)$ $7^4 \equiv 64 \equiv 23 \, (mod \, 41)$ $7^6 \equiv 184 \equiv 20 \, (mod \, 41)$ $7^7 \equiv 140 \equiv 17 \, (mod \, 41)$ $7^{13} \equiv 340 \equiv 12 \, (mod \, 41)$

Maka: $7^{2013} \equiv 12 \, (mod \, 41)$ .

3. Induksi Matematika

Induksi matematika merupakan suatu sistem pembuktian dalam matematika untuk menyatakan suatu pernyataan adalah benar untuk semua bilangan asli.

Langkah-langkah Induksi Matematika

Misalkan $f(n)$ sebuah pernyataan yang dinyatakan berlaku untuk semua bilangan orisinil n.
Untuk pertanda apakah pernyataan ini bernilai benar atau tidak untuk semua bilangan orisinil, ada dua langkah yang dilaksanakan, ialah:
Jika $f(1)$ benar, dan
Jika $f(k)$ benar yang menjadikan $f(k+1)$ juga benar,
Maka $f(n)$ bernilai benar untuk setiap bilangan asli n.

Contoh Soal Induksi Matematika:
Buktikan bahwa untuk setiap bilangan orisinil n berlaku:
f(n) = 1 x 2 + 2 x 3 + 3 x 4 + $\cdots$ + n (n + 1) = $\frac{1}{3}$ n (n + 1)(n + 2).

Soal Latihan PTS Kelas 2 SD Kurikulum 2023 Revisi Terbaru Semester 1 Lengkap

Penyelesaian:
Langkah 1:
f(1) = 1 x 2 = 2 $f(1) = \frac{1}{3} 1 (1 + 1)(1 + 2) = \frac{1}{3} \times 1 \times 2 \times 3 = 2$
Maka pernyataan tersebut bernilai benar untuk n = 1.

Langkah 2:
Misalkan pernyataan tersebut bernilai benar untuk n = k, yaitu:
f(k) = 1 x 2 + 2 x 3 + 3 x 4 + $\cdots$ + k (k + 1) = $\frac{1}{3} k (k + 1)(k + 2)$ . (persamaan 1)
Maka akan kita buktikan bahwa pernyataan tersebut juga benar untuk n = k + 1, yakni:

f(k + 1) = 1 x 2 + 2 x 3 + 3 x 4 + $\cdots$ + k (k + 1) + (k + 1)(k + 2) = $\frac{1}{3} (k + 1)(k + 2)(k + 3)$ (persamaan 2)

Dari persamaan 1 tadi, kita tambahkan (k + 1)(k + 2) pada kedua ruas, menjadi:
1 x 2 + 2 x 3 + 3 x 4 + $\cdots$ + k (k + 1) + (k + 1)(k + 2) = $\frac{1}{3} k (k + 1)(k + 2)$ + (k + 1)(k + 2) $\Leftrightarrow \{(k + 1)(k + 2)\}(\frac{1}{3} k + 1)$ $\Leftrightarrow \{(k + 1)(k + 2)\}(\frac{k+3}{3})$ $\Leftrightarrow \frac{1}{3} (k + 1)(k + 2)(k + 3)$
Persamaan terakhir ini sama dengan persamaan 2 di atas.
Terbukti jika untuk n = k benar maka untuk n = k + 1 juga benar.
Makara terbukti pernyataan tersebut bernilai benar untuk setiap bilangan orisinil n.

4. Prinsip Keterbagian

Materi tentang keterbagian tidak diajarkan dalam pelajaran rutin matematika SMA, padahal soal perihal ini biasanya sering digunakan di dalam event olimpiade matematika SMA baik di level OSK atau OSP, yaitu pada bab teori bilangan.

Keterbagian yakni sifat yang harus dimiliki suatu bilangan supaya bilangan tersebut habis dibagi oleh bilangan yang lain. Makna ‘habis’ dalam hal ini adalah bahwa jika dilakukan pembagian, maka risikonya berupa bilangan lingkaran, bukan penggalan.

Contoh:

36 habis dibagi 12, risikonya ialah 3.

36 tidak habis dibagi 5, sebab menghasilkan 7 dan masih sisa 1.

Jika a habis dibagi oleh b, atau dalam bahasa lain ‘b membagi habis a’, maka dapat dinyatakan dengan b

Categories Soal Tags Soal

Kehidupan Dialam Qubur
Badan Meteorologi Klimatologi Dan Geofisika Memastikan Bahwa Gempa Yang Terjadi Di Tempat