Abstrak: Keluhan sebagian pelajar matematika yang terkadang diungkapkan yakni “kesusahan belajar matematika secara berdikari”. Kesulitan berguru itu terutama dalam menentukan model pembelajaran yang tepat. Model pembelajaran yang dipakai hendaknya mencakup bagaimana belajar, bagaimana mengenang, bagaimana berpikir dan bagaimana memotivasi diri sendiri. Oleh alasannya adalah itu, pelajar dapat menentukan model reciprocal teaching untuk mencar ilmu matematika secara mampu berdiri diatas kaki sendiri. Karena dalam versi reciprocal teaching terdapat empat keterampilan kognitif ialah merangkum, mengajukan pertanyaan, menjelaskan dan memprediksi
Kata kunci: Model reciprocal teaching, mencar ilmu, mampu berdiri diatas kaki sendiri
Matematika dikenal selaku suatu ilmu wawasan yang abstrak, yang dapat dipandang selaku menstrukturkan contoh berpikir yang sistematis, kritis, logis, cermat dan konsisten. Pola berpikir yang dianut secara konsisten inilah yang mengakibatkan matematika memiliki ilmu yang kuat.
Dalam pembahasan matematika, kesimpulan-kesimpulan yang dihasilkan sementara diperoleh melalui akal budi dengan contoh berpikir mirip yang diungkapkan di atas yang disertai secara ketat tanpa pengecualian/pengkhususan. Dalam matematika juga tidak terdapat desain-konsep yang berlawanan (kontradiksi). Karena itu, bahan matematika dan akal sehat matematika merupakan dua hal yang tidak dapat dipisahkan. Materi matematika tidak mampu dimengerti dengan baik dan benar jikalau tidak dipelajari dengan penalaran yang benar. Sebaliknya, akal budi matematika itu hanya dapat dimengerti dan dilatihkan lewat mencar ilmu materi matematika. Dengan demikian belajar mirip ini untuk memudahkan menemukan pemahaman yang benar sehingga terhindar dari salah pemahaman (misconception). Sebab pemahaman rancangan yang salah dapat berakibat fatal dalam pengembangan dan penerapan berikutnya. Kebiasaan berpikir dan bernalar matematika ini akan sungguh menolong dalam menghadapi permasalahan dalam proses penyelesaian duduk perkara, serta dalam proses pengambilan keputusan, sekalipun di luar bidang matematika.
Untuk belajar materi matematika dan daypikir matematika sehingga tercapai tujuan pembelajaran yang kita harapkan. Perlu kiranya kita menentukan versi pembelajaran yang sempurna. Dengan demikian kita dapat mencar ilmu secara berdikari. Model pembelajaran yang digunakan hendaknya mencakup bagaimana belajar, bagaimana mengenang, bagaimana berpikir dan bagaimana memotivasi diri sendiri. Hal ini diungkapkan Weinstein dan Meyer dalam Khabibah (1999:3), “Good teaching includes teaching students how to learn, how to remember, how to think, and how to motivate themselves”. Dengan demikian kita mampu menentukan model reciprocal teaching (pembelajaran terbalik) sehingga kita dapat mencar ilmu secara berdikari.
Polinscar dan Brown, (1984) dan Daniel, (1988) menyatakan, “ Terdapat sejumlah upaya berdasarkan teori Vigotsky untuk mengenalkan bentuk reciprocal teaching yang dirancang untuk menyikapi siswa dalam keperluan pembelajaran berdikari” (dalam Harry dan Julia, 1995:75). Model reciprocal teaching merupakan salah satu model pembelajaran yang digunakan dalam pembelajaran dalam beberapa mata pelajaran diantaranya matematika. Dengan versi reciprocal teaching diperlukan kita mampu mencar ilmu bahan matematika dan akal budi matematika secara mampu berdiri diatas kaki sendiri.
Dalam versi reciprocal teaching terdapat empat kemampuan kognitif ialah merangkum, bertanya, menerangkan dan memprediksi. Belajar materi matematika dan penalaran matematika sungguh dekat keterkaitannya dengan kehidupan sehari-hari. Meskipun tidak semua materi matematika dapat dipelajari dengan memakai model reciprocal teaching. Namun yang kita inginkan contoh berpikir kita memiliki empat kemampuan tersebut.
BELAJAR MANDIRI
Belajar yaitu sebuah proses yang mesti diadakan seseorang atau sekelompok orang untuk mendapatkan penguasaan sebuah kemampuan tertentu yang sudah ditetapkan apalagi dulu. Yang dimaksud dengan penguasaan kesanggupan belajar matematika, bukan cuma penguasaan rancangan, bahan, akal budi dan kemampuan teknis (penguasaan ilmu). Tetapi juga, training budbahasa, perilaku dan perilaku kepada diri dalam matematika, yang secara singkat kita sebut sebagai pembinaan kematangan profesional. Dalam matematika termasuk di sini sikap dan etos kerja, sifat inovatif dan inovatif serta kesanggupan berkomunikasi ekspresi dan tulisan.
Sesuai dengan pandangan yang dikemukakan di atas, pembelajaran matematika perlu meliputi usaha melatihkan kemampuan mencar ilmu mandiri dengan memanfaatkan fasilitas dan nara
Daftar Isi
PEMBELAJARAN MATEMATIKA
Pembelajaran matematika perlu diberi pemfokusan pada:
1. Pemahaman desain dengan baik dan benar.
2. Kekuatan bernalar matematika.
3. Keterampilan dalam teknik dan metode dalam matematika
4. Kemampuan mencar ilmu berdikari.
Ada beberapa tingkatan penguasaan desain dalam matematika selaku berikut:
1. Mengucapkan desain dengan sempurna dan benar.
2. Menjelaskan konsep dengan kalimat dan kata-kata biasa, sehinga dapat diketahui oleh orang lain.
3. Mengidentifikasi keberlakuan atau ketidakberlakuan rancangan, yaitu kesanggupan memakai atau tidak memakai konsep pada tempat atau suasana yang benar.
4. Menginterpretasikan suatu konsep yakni menunjukkan interpretasi sebuah rancangan dilingkungan matematika atau di luar matematika dalam suasana sehari-hari atau bidang ilmu lain. Ini mendasari kesanggupan menerapkan matematika.
5. Menerapkan rancangan dengan benar dalam matematika ataupun dalam penerapan matematika di luar bidang matematika.
6. Kesadaran pengembangan desain, berupa generalisasi ataupun pengembangan sifat dan sikap konsep tersebut.
7. Kemampuan berkomunikasi tentang matematika dan mengkomunikasikan matematika. Yang pertama ialah menghidangkan pertimbangan atau hasil pedoman matematika yang tepat dan benar, secara lisan dan goresan pena. Yang kedua yaitu mengkomunikasikan matematika pada pengguna, sebagai kunci penerapan matematika.
Beberapa hal berikut ini mampu diperhitungkan dalam melaksanakan pembelajaran matematika:
1. Usaha menumbuhkan motivasi mencar ilmu
Sebelum mencar ilmu bahan dan akal budi lebih lanjut, kita hendaknya terlebih dulu tahu manfaat dan tujuan belajar matematika.
2. Penyajian konsep (Aksioma dan Definisi)
Mencoba untuk menerangkan isi atau maksud desain itu dengan kata-kata dan kalimat biasa yang sederhana. Dan jikalau memungkinkan diberikan interpretasinya dalam suasana perjuangan atau suasana lain yang sudah dikenal.
Setiap definisi senantiasa berisikan tiga komponen, ialah:
- Ruang atau semesta di mana definisi itu berlaku.
- Ungkapan definisi.
- Atributnya.
Kemampuan mengidentifikasi ketiga bagian itu dengan benar sangatlah penting untuk mempermudah penggunaan dan menghindarkan penggunaan yang keliru. Perlu dibiasakan menelaah setiap definisi dan menyaksikan beberapa akhir logisnya yang mungkin dirumuskan, yang kadang kala ditemui berupa teorema.
3. Penyajian teorema, sifat atau aturan-aturan
Setiap teorema harus ditunjukkan kebenarannya, memberikan kebenaran ini mampu dijalankan dengan dua cara, yakni:
- Menemukan teorema itu selaku akibat logis kebenaran yang berbentukdefinisi atau teorema yang sudah diperoleh sebelumnya.
- Meneruskan suatu teorema berdasarkan intuisi dan lalu dibuktikan secara deduktif berdasarkan definisi atau banyak sekali teorema yang diperoleh sebelumnya.
Menunjukkan bahwa setiap teorema berisikan tiga bagian, adalah:
- Semesta di mana teorema itu diberlakukan.
- Premis adalah semacam kriteria yang mesti dipenuhi.
- Kesimpulan yang menyatakan akibat dari premis.
Mengidentifikasi bagian-unsur ini penting untuk proses pembuktian dan untuk menghindarkan kekeliruan penggunaan. Penting pula ditunjukkan penggunaan dan interpretasi teorma tersebut.
4. Metode dan tehnik matematika
Untuk menawarkan kemampuan penggunaan metode dan tehnik ini perlu dimulai dengan memperlihatkan contoh yang lengkap dan terang, dan memberikan alasan setiap langkah yang diambil. Kemudian latihan menyuguhkan soal-soal yang ada.
5. Problem solving
Dalam dilema solving dituntut kematangan yang lebih, yang mencakup mengenal dan menganalisis permasalahan, penjajagan dan mencoba-coba berbagai cara solusi, memilih sistem dan tehnik-tehnik yang cocok, dan misalnya kebenaran yang diperoleh.
6. Evaluasi
Evaluasi adalah usaha untuk mengetahui materi atau kesanggupan yang sudah diajarkan berhasil dilakukan dan dimengerti dengan baik oleh kita dan sesuai dengan ketentuan tujuan pembelajaran.
MODEL RECIPROCAL TEACHING
Polinscar (1986) dalam Harry dan Julia (1995:75) mengungkapkan ada empat taktik kognitif yang digunakan untuk membantu pengertian kita tersebut adalah:
1. Merangkum; kita mampu mengidentifikasi dan memparafrasekan ide pokok dalam sebuah perihal.
2. Bertanya; kita mampu membuat pertanyaan sendiri wacana gosip yang belum jelas yang terdapat dalam tentang.
3. Menjelaskan; kita mampu mengklarifikasi sebuah pemahaman yang sukar dan mampu mengklarifikasi kata kunci yang terdapat dalam wacana supaya lebih diketahui, misalnya dengan membaca ulang, membaca di depan, mengajukan pertanyaan untuk menolong.
4. Memprediksi; kita dapat menyelenggarakan hipotesis ihwal struktur dan isi bacaan yang hendak disuguhkan berikutnya.
Model reciprocal teaching merupakan strategi pembelajaran yang dikembangkan oleh Annimarie Sakivan Polinscar dan Ann Brown pada tahun 1981 untuk pelajaran bahasa. Namun tidak ada salahnya apabila kita menerapkannya dalam mencar ilmu matematika secara berdikari. Karena dengan versi reciprocal teaching dibutuhkan mencar ilmu mengetahui sehingga tidak gampang lupa dan lebih memiliki arti, kita juga mampu berguru mampu berdiri diatas kaki sendiri dan mampu memotivasi diri sendiri.
MODEL RECIPROCAL TEACHING DALAM BELAJAR MATEMATIKA SECARA MANDIRI
Telah diungkapkan di atas bahwa model reciprocal teaching ialah sebuah mekanisme pembelajaran atau pendekatan yang dirancang untuk mengajarkan terhadap siswa perihal seni manajemen pengertian yakni merangkum, mengajukan pertanyaan, menerangkan dan memprediksi. Adapun langkah-langkah penerapan model reciprocal teaching dalam berguru matematika secara berdikari yaitu selaku berikut:
Dalam hal ini dicontohkan bahan aljabar linear pada pokok bahasan Ruang-ruang Vektor dengan sub pokok bahasan Kebebasan Linear.
Langkah 1. Membaca bahan di bawah ini dengan teliti dan teliti.
Definisi: Jika S = v1, v2, …, vr yakni sebuah himpunan vektor-vektor tak kosong, maka persamaan vektor
k1v1 + k2v2 + …+ krvr = 0
mempunyai paling tidak satu penyelesaian adalah k1 = 0, k2 = 0, … kr = 0. Jika ini adalah satu-satunya solusi maka S disebut sebuah himpunan yang bebas secara linear. Jika ada penyelesaian-solusi yang lain, maka S disebut himpunan yang tak-bebas secara linear.
Contaoh 1.
Jika v1 = (2, -1, 0, 3) , v2 = (1, 2, 5,-1), dan v3 = (7, -1, 5, 8), maka himpunan vektor-vektor S = v1, v2, v3 tak-bebas secara linear, alasannya adalah 3v1 + v2 – v3 = 0.
Contoh 2.
Polinom p1 = 1 – x , p2 = 5 + 3x – 2x2 , dan p3 = 1 + 3x – x2
Membentuk sebuah himpunanyang tak-bebas secara linear dalam P2 sebab 3 p1 – p2 + 2p3 = 0
Contoh 3.
Tinjau vektor i = (1, 0, 0) , j = (0, 1, 0), dan k = (0, 0, 1) dalam R3. Dalam bentuk bagian, persaman vektor
k1i + k2j + krk = 0
menjadi
k1(1,0, 0) + k2(0, 1, 0) + kr(0, 0, 1) = (0, 0, 0)
atau secara ekuivalen
(k1 , k2 , kr ) = (0, 0, 0)
Ini berimplikasi bahwa k1 = 0, k2 = 0 dan k3 = 0 sehinga himpunan S = i, j, k bebas secara linear. Suatu uraian serupa mampu digunakan untuk menunjukkan bahwa vektor-vektor
e1 = (1, 0, 0, …, 0), e2 = (0, 1, 0, …, 0), …, en = (0, 0, 0, …, 1)
membentuk sebuah himpunan yang bebas secara linear dalam R3.
Contoh 4.
Tentukan apakah vekor-vektor
v1 = (1, -2, 3) , v2 = (5, 6, -1), v3 = (3, 2, 1)
membentuk suatu himpunan yang tak-bebas secara linear atau himpunan yang bebas secara linear!
Penyelesaian:
Dalam bentuk unsur, persamaan vektor
k1v1 + k2v2 + k3v3 = 0
menjadi
k1(1, -2, 3) + k2(5, 6, -1) + k3(3, 2, 1) = (0, 0, 0)
atau secara ekuivalen
(k1 + 5k2 + 3k3 , –2k1 + 6k2 + 2k3 , 3k1 – k2 + k3) = (0, 0, 0)
dengan menyamakan bagian-bagian yang berpadanan kita akan mendapatkan
k1 + 5k2 + 3k3 = 0
–2k1 + 6k2 + 2k3 = 0
3k1 – k2 + k3 = 0
Kaprikornus, v1, v2, dan v3 membentuk sebuah himpunan yang tak-bebas secara linear jika metode ini mempunyai sebuah penyelesaian yang tak-trivial, atau suatu himpunan yang bebas secara linear jika tata cara ini hanyamempunyai penyelesaian trivial. Dengan menyelesaikan metode ini kita akan menerima
k1 = –
, k2 = –, k3 = t
, k2 = –, k3 = t Jadi, metode tersebut memiliki penyelesaian tak-trivial dan v1, v2, dan v3 membentuk sebuah himpunan yang tak-bebas secara linear. Atau, kitabisa memberikan eksistensi penyelesaian tak-trivial tanpa menyelesaikan sistemnya dengan memberikan bahwa maktriks koefisiennya memiliki determinan nol dan akhirnya tidak mampu dibalik (ditunjukkan).
Contoh 5.
Tunjukkan bahwa polinom
1, x, x2, …, xn
membentuk sebuah himpunan vektor-vektor yang bebas secara linear dalam Pn!
Penyelesaian:
Anggap
p0 = 1 , p2 = x , p2 = x2 , …, pn = xn
Dan asumsikan bahwa suatu kombinasi linear dari polinom-polinom ini yakni nol, katakanlah
a0p0 + a1p1 + a2p2 + … + an pn = 0
atau secara ekuivalen
a0 + a1x + a2x2 + … + an xn = 0 untuk semua x dalam (
) (1)
) (1) kita mesti menawarkan bahwa
a0 = a1 = a2 = … = an = 0
Untuk menyaksikan bahwa memang demikian halnya, camkan dari aljabar bahwa suatu polinom tak nol berderajat n paling banyak mempunyai n akar yang berlawanan. Tetapi hal ini mengimplikasikan bahwa a0 = a1 = a2 = … = an = 0 ; kalau tidak, dari (1) kita dapatkan bahwa a0 + a1x + a2x2 + … + anxn yakni suatu polinom tak nol dengan tak sampai banyaknya akar.
Langkah 2. Merangkum bahan yang telah dibaca di atas.
Rangkuman:
Definisi: Jika S = v1, v2, …, vr yaitu suatu himpunan vektor-vektor tak kosong, maka persamaan vektor
k1v1 + k2v2 + …+ krvr = 0
memiliki paling tidak satu solusi yaitu k1 = 0, k2 = 0, … kr = 0. Jika ini yaitu satu-satunya solusi maka S disebut sebuah himpunan yang bebas secara linear. Jika ada penyelesaian-penyelesaian lainnya, maka S disebut himpunan yang tak-bebas secara linear.
Langkah 3. Bertanya;
Dapat diaplikasikan dengan menciptakan soal sendiri yang sesuai dengan contoh soal di atas. (Silahkan buat soal sendiri)
Langkah 4: Menjelaskan
Jika berguru berdikari dilakukan secara golongan kita mampu menerangkan kepada sahabat-sobat. Karena dalam berguru matematika, kita dikatakan mengetahui sebuah bahan jika kita dapat menjelaskan materi tersebut dengan kata-kata sendiri kepada orang lain.
Langkah 5: Memprediksi
Digunakan untuk meramalkan apa yang terjadi bila sebuah syarat dihilangkan atau ditambah sebuah syarat.
Contoh:
Untuk nilai real x berapakah vektor-vektor berikut ini membentuk suatu himpunan yang tak-bebas secara linear dalam R3?
v1 = 
, v2 = 
, dan v3 = 
, v2 = , dan v3 =
DAFTAR PUSTAKA
Ansyar, M. dan R. K. Sembiring. 2001. Hakikat Pembelajaran MIPA di Perguruan Tinggi. Dalam Ida Malati Sukma Sadjati (Ed.) Hakikat Pembelajaran MIPA dan Kiat Pembelajaran Biologi di Perguruan Tinggi (hal. 10 – 15). Jakarta
Anton, Howard. Terjemahan oleh Hari Suminto, Ir. 2000. Elementary Linear Aljebra. Batam Centre: Interaksara.
Daniel, Harry dan Julia. 1995. Secondary Mathematic and Special Educational Needs. New York : Cassel
Khabibah, Siti. 1999. Model Pengajaran Terbalik (Reciprocal Teaching) Dalam pembelajaran matematika di SMU. Tesis. Surabaya : IKIP Surabaya