Dalam peluang ini mari mempelajari penerapan integral dlm memilih persamaan grafik fungsi. Dalam menentukan persamaan grafik fungsi ini didasari oleh pengetahuan tentang gradien sebuah kurva di suatu titik. Ingat bahwa dlm memilih gradien sebuah fungsi dapat dilakukan dgn cara memilih turunan fungsi dr persamaan grafiknya. Oleh sebab Integral merupakan kebalikan dr turunan (derivatif), maka untuk menentukan grafik fungsi mampu dilaksanakan dgn mengintegralkan fungsi gradiennya.
Untuk lebih jelasnya perhatikan acuan soal & pembahasan berikut.
Contoh 1
Diketahui sebuah kurva mempunyai gradien di setiap titik adalah m = 2x + 3. Kurva tersebut melalui titik (-2, 4). Tentukan persamaan kurva (grafik tersebut).
Jawaban:
Diketahui gradien : y’ = m = 2x + 3
Untuk memilih persamaan kurva, Integralkan fungsi gradien tersebut.
Misalkan fungsi atau persamaan kurvanya yakni y = f(x).
Maka:
f(x) = x2 + 3x + C
Langkah selanjutnya memilih nilai C (Konstanta Integrasi)
Kurva tersebut melalui titik (-2, 4). Dengan mensubstitusikan nilai x & y maka diperoleh:
4 = 22 + 3(2) + C
4 = 4 + 6 + C
C = -6
Makara,persamaan kurva ialah f(x) = x2 + 3x – 6.
Contoh 2
Diketahui suatu kurva mempunyai gradien di setiap titik adalah m = 4x – 5. Kurva tersebut melalui titik (3, 7).
a. pastikan persamaan kurva (grafik tersebut)
b. Titik potong terhadap Sumbu Y
Jawaban:
a. Diketahui gradien : y’ = m = 4x – 5
Untuk memilih persamaan kurva, Integralkan fungsi gradien tersebut.
Misalkan fungsi atau persamaan kurvanya yaitu y = f(x).
Maka:
Cara Menentukan Hasil Operasi Hitung Bilangan Pangkat dan Bentuk Aljabar (Pankat Bilangan Bulat)
f(x) = 2x2 – 5x + C
Langkah selanjutnya menentukan nilai C (Konstanta Integrasi)
Kurva tersebut lewat titik (3, 7). Dengan mensubstitusikan nilai x & y maka diperoleh:
7 = 2×32 – 5(3) + C
7 = 18 – 15 + C
7 = 3 + C
C = 4
Kaprikornus, persamaan kurva yakni f(x) = 2x2 – 5x + 4.
b. Menentukan titik potong kepada sumbu Y.
Memotong sumbu Y, berarti nilai x = 0.
y = f(x) = 2x2 – 5x + 4
y = 2(0)2 – 5(0) + 4
= 4
Jadi, titik kurva memangkas sumbu Y di titik (0, 4).
Contoh 3
Diketahui sebuah kurva fungsi Kuadrat mempunyai gradien di setiap titik adalah m = 6x + p. Kurva tersebut melalui titik puncak (2, 9).
a. pastikan persamaan kurva (grafik tersebut)
b. Titik potong kepada Sumbu Y
Jawaban:
a. Diketahui gradien : y’ = m = 6x + p & titik puncak (2, 9).
Jika sebuah kurva kuadrat mempunyai titik pucak (xp, yp), maka sumbu simetrinya yakni xp. Suatu turunan fungsi mampu digunakan unttuk memilih absis pada klimaks & sumbu simetri.
Pada soal dimengerti absis titik puncak = 2. Untuk menentukan absisnya gunakan turunan fungsi y = f(x) sehingga y'(x) = 0.
Maka diperoleh hubungan sebagai berikut.
y’ = 0
y’ = 6x + p
0 = 6(2) + p
0 = 12 + p
p = -12
Dengan demikian diperoleh gradien m = 6x – 12.
Untuk memilih persamaan kurva, Integralkan fungsi gradien tersebut.
Misalkan fungsi atau persamaan kurvanya yaitu y = f(x).
Maka:
f(x) = 3x2 – 12x + C
Langkah berikutnya memilih nilai C (Konstanta Integrasi)
Kurva tersebut melalui titik puncak (2, 9). Dengan mensubstitusikan nilai x & y maka diperoleh:
9 = 3 × 22 – 12(2) + C
9 = 12 – 24 + C
9 = -12 + C
C = 21
Jadi, persamaan kurva yaitu f(x) = 3x2 – 12x + 21.
Masih banyak permasalahan & penerapan integral dlm desain matematika, misalnya berkaitan dgn jarak & kecepatan, gaya, & dlm ekonomi.
Demikianlah sekilas bahan wacana penerapan Integral dlm memilih persamaan grafik fungsi.
Semoga Bermanfaat.