Integral Tentu & Penggunaan Integral

Daftar Isi

Integral Tentu

Catatan: Materi ini merupakan lanjutan dr materi dasar: Pengertian Integral, Integral Tak Tentu & Integral Trigonometri.

Luas suatu bidang dgn bentuk tertentu (mirip: lingkaran, segitiga, segiempat, dll) dapat ditentukan dgn rumus-rumus dasar yg telah dikenali. Namun, untuk memilih luas sebuah bidang yg tak beraturan atau tak pasti akan susah. Lihatlah gambar di bawah yg merupakan luasan area dibawah grafik y = f(x) yg dibatasi oleh x = a, x = b, & garis x. Luas area tersebut hampir mendekati dgn luas dr total 11 sisi panjang.

integral tentu menghitung luas kurva

Lihat pula bahan Wargamasyarakat.org yang lain:

Grafik Fungsi Trigonometri

Kuartil & Simpangan Baku

Jika jumlah sisi panjang diperbanyak 21 buah mirip gambar dibawah, maka jumlah total luas persegi panjang tersebut semakin mendekati luas area grafik yg diputuskan. Sehingga untuk menerima luas area tersebut, jumlah persegi panjang dibuat mendekati tak hingga. Dapat disimpulkan luas dr area sama dgn limit luas total sisi panjang menuju tak sampai.

luas bidang di bawah grafik fx

Konsep ini menjadi dasar untuk mencari luas suatu bidang tak tentu. Luas suatu bidang di bawah grafik y = f(x) yg dibatasi oleh x = a, x = b dapat dicari dgn mengintegralkan fungsi tersebut pada selang $a \le x \le b$ . Atau dapat ditulis:

$Luas =\int^b_af(x)dx$

Pengoperasian integral tentu sama dgn intergral tak pasti cuma saja nilai a dan b disubstitusikan dlm fungsi hasil integral selaku berikut:

$\int^b_af(x) dx = [F(x)]^b_a=F(b)-F(a)$

Lihat teladan berikut ini selaku pemahaman:

$\int^3_1 4x^3dx=[x^4]^3_1=(3^4)-(1^4) = 80$

$\int^2_1\frac 1 x^3 dx =[-\frac 1 2x^2 ]^2_1 = [-\frac 1 2(2)^2 ]^2_1-(-\frac 1 2(1)^2 )$ = $-\frac 1 8 +\frac 1 2 =\frac 3 8$

Intergral pasti mempunyai sejumlah sifat-sifat penting yg mampu dipakai dlm pengoperasian matematika yaitu:

$\int^a_a f(x)dx=0$

$\int^b_a f(x) dx = - \int^a_b f(x) dx$

$\int^b_a k \cdot f(x)dx=k \cdot \int^b_af(x)dx$ … dgn k yakni konstanta/ bilangan

$\int^b_af(x)+g(x)dx = \int ^b_a f(x)dx +\int^b_a g(x)dx$

$\int^b_af(x)-g(x)dx = \int^b_af(x)dx - \int^b_ag(x)dx$

$\int^c_af(x)dx = \int^b_af(x)dx+\int^c_bf(x)dx$ … dgn a < b < c

Pengintegralan suatu fungsi tak selamanya dapat dijalankan dengan-cara pribadi dgn rumus dasar:

$\int ax^ndx=\frac a (n+1) x^ (n+1) +C$

Bisa atau tak ditentukan oleh bentuk fungsi yg diintegralkan. Teknik pengintegralan terdiri dr dua jenis yaitu teknik substitusi & teknik parsial.

Lihat pula materi Wargamasyarakat.org yang lain:

Teks Editorial

Bioteknologi

Conditional Sentence

Penggunaan Integral

Pada penjelasan sebelumnya integral mampu digunakan untuk mencari luas suatu bidang selaku fungsi pada interval $a \le x \le b$ & dibatasi sumbu x sebagaimana proses integral pasti. Lihat tabel berikut:

Jenis Kegunaan	Batasan	Luas (A)	Keterangan
Luas grafik	Grafik f(x) a ≤ x ≤ b Sumbu x	$A =\int^b_a f(x) dx$	Luas bidang berada pada: Atas sumbu x, atau Bawah sumbu x
Luas antara dua grafik	Grafik f(x) Grafik g(x) a ≤ x ≤ b	$A =\int^b_a f(x) - g(x) dx$	f(x) > g(x) pada selang a ≤ x ≤ b
Luas antara dua grafik dgn ordo maksimal 2	Grafik f(x) Grafik g(x)	$A = \frac D \sqrt D 6a^2$	Determinan (D) didapat dr f(x) = g(x) menjadi ax² + bx + c = 0

Pada penggunaan lebih lanjut, integral mampu digunakan untuk mencari volume. Volume didapat dr suatu bidang yg mengelilingi/berputar pada sebuah sumbu. Metode untuk menghitung volume benda putar yakni tata cara cakram & tata cara kulit.

Metode Cakram

Jenis Volume	Batasan Bidang	Sumbu Putar	Volume
Volume Grafik	Grafik f(x) a ≤ x ≤ b Sumbu x	Sumbu x	V = $\int^b_a \pi [f(x)]^2) dx$
Volume Grafik	Grafik f(y) a ≤ y ≤ b Sumbu y	Sumbu y	V = $\int^b_a \pi [f(y)]^2) dy$
Volume Antara Dua Grafik	Grafik f(x) Grafik g(x) a ≤ x ≤ b	Sumbu x	V = $\int^b_a [f(x)]^2 - [g(x)]^2) dx$
Volume Antara Dua Grafik	Grafik f(y) Grafik g(y) a ≤ y ≤ b	Sumbu y	V = $\int^b_a [f(y)]^2 - [g(y)]^2) dy$

Lihat pula materi Wargamasyarakat.org lainnya:

Efek Fotolistrik

Reaksi Redoks

Gurindam

Metode Kulit

Jenis Volume

Batasan Bidang

Sumbu Putar

Volume

Volume Grafik

Grafik f(x)

a ≤ x ≤ b

Sumbu x

Sumbu y

V = $2 \pi \int^b_a x \cdot f(x) dx$

Volume Antara Dua Grafik

Grafik f(x)

Grafik g(x)

a ≤ x ≤ b

Sumbu y

V = $2 \pi \int^b_a x \cdot [f(x) - g(x)] dx$

Contoh Soal Integral Tentu, Penggunaan Integral, & Pembahasan

Tentukan luas daerah yg dibatasi oleh 2 grafik yaitu grafik $y = 2x^3 + x^2 - x - 1$ & grafik $y = x^3 + 2x^2 - x - 1$ .

Pembahasan:

Kedua grafik dibuat persamaan f(x) – g(x) untuk mendapat titik potong:

$2x^3 + x^2 - x - 1 = x^3 + 2x^2 + 5x - 1$

$x^3 - x^2 - 6x = 0$

$(x+2)(x)(x-3) = 0$

Akar-akarnya merupakan titik potong kedua grafik yaitu x = -2, x = 0, x = 3.

Maka luas grafik tersebut ialah:

$A =\int^b_a f(x) - g(x) dx$ = $\int^c_a f(x) - g(x) dx + \int^b_c f(x) - g(x) dx$

Dengan a = -2, b = 3, & c = 0, maka

$A =\int^0_ -2 f(x) - g(x) dx = \int^0_ -2 x^3 - x^2 - 6x dx$ = $[\frac 1 4 x^4 - \frac 1 3 x^3 - \frac 6 2 x^2]^0_ -2$

$= 0 - (\frac 1 4 (-2)^4 - \frac 1 3 (-2)^3 - \frac 6 2 (-2)^2)$

$= 0 - (\frac 16 4 - \frac 8 3 - 12)$ = $- (\frac 48 + 32 - 144 12 ) = \frac 64 12$

$A =\int^3_0 f(x) - g(x) dx = \int^3_0 x^3 - x^2 - 6x dx$ = $[\frac 1 4 x^4 - \frac 1 3 x^3 - \frac 6 2 x^2]^3_0$

$= (\frac 1 4 (3)^4 - \frac 1 3 (3)^3 - \frac 6 2 (3)^2) - 0$ = $\frac 81 4 - 9 - 27 = - \frac 63 4$

Nilai $- \frac 63 4$ memiliki tanda (-) mengartikan pada interval 0 ≤ x ≤ 3 kurva g(x) > f(x), sehingga penulisan integran terbalik. Seharusnya: g(x) – f(x). Luas tak mungkin (-) sehingga yg dijumlahkan ialah $\frac 63 4$ . Sebagai berikut: