Turunan yakni pengukuran kepada bagaimana fungsi berganti seiring pergeseran nilai input, atau dengan-cara biasa turunan menunjukkan bagaimana sebuah besaran berganti akhir perubahan besaran yang lain. Turunan merupakan operasi matematika yg tak abnormal lagi bagi seorang mahasiswa. Namun tak disangkal bahwa dlm menuntaskan operasi turunan memerlukan waktu yg cukup usang alasannya harus menyelesaikan perhitungan-perkiraan yg cukup rumit & hasilnya pun belum tentu kebenarannya.
Banyak permasalahan sehari-hari yg memakai konsep turunan fungsi trigonometri dlm penyelesaiannya. Dalam makalah ini akan dibahas rangkuman materi wacana turunan fungsi trigonometri serta acuan soal dibarengi pembahasannya.
Daftar Isi
Pengertian Turunan Trigonometri
Turunan dr suatu fungsi pada titik tertentu menjelaskan sifat-sifat fungsi yg mendekati nilai input. Turunan trigonometri ialah persamaan turunan yg melibatkan fungsi-fungsi trigonometri seperti sin, cos, tan, cot, sec & csc.
Rumus Turunan Trigonometri
Pada dasarnya turunan trigonometri mengacu pada definisi turunan. Fungsi-fungsi f(x) = sin x & g(x) = tan x, keduanya memiliki turunan(dapat didiferensialkan) yaitu turunan sin x ialah f'(x) = cos x & turunan cos x adalah g'(x) =sec2x. Hal itu mampu dibuktikan dgn rumus f ‘(x) = limh→0fx+h-f(x)h, maka mampu di pastikan rumus turunan fungsi trigonometri.
Turunan f(x) = sin x
Diketahui f (x) = sin x
f ‘(x) = limh→0fx+h-f(x)h
= limh→0sinx+h-sin(x)h
= limh→02cos122x+hsin12(h)h
= limh→0cos(x + 12h) . limh→0sin12 h(12h)
= cosx.1
= cosx
Makara ddx (sin x) = cosx
Turunan f(x) = tan x
Diketahui, f (x) = tan x = sinxcosx
g(x) = sin x g'(x) = cos x
h(x) = cos x h'(x) = -sinx
f ‘(x) =hxg’x- g(x)h'(x) [h(x)]2
= cos xcos x- sin x.(-sinx)[cos x]2
= cos2x+ sin2cos2x
=1cos2x=sec2x
Kaprikornus ddx(tanx) = sec2x
Dengan jalan yg sama mampu dicari turunan cot x, sec x, cosec x.
Contoh Soal Turunan Trigonometri
Berikut ini terdapat beberapa acuan soal turunan trigonometri, terdiri atas:
Contoh 1
Turunkan fungsi berikut:
y = 5 sin x
Pembahasan:
y = 5 sin x
y’ = 5 cos x
Contoh 2
Diberikan fungsi f(x) = 3 cos x
Tentukan nilai dr f ‘ ( π/2).
Pembahasan:
Perhatikan rumus turunan untuk fungsi trigonometri berikut ini:
f(x) = 3 cos x
f ‘(x) = 3 (−sin x)
f ‘(x) = −3 sin x
Untuk x = π/2 diperoleh nilai f ‘(x)
f ‘(π/2) = −3 sin ( π/2) = −3 (1) = −3
Contoh 3
Tentukan turunan pertama dr y = −4 sin x
Pembahasan:
y = −4 sin x
y’ = −4 cos x
Contoh 4
Diberikan y = −2 cos x. Tentukan y’
Pembahasan
y = −2 cos x
y’ = −2 (−sin x)
y’ = 2 sin x
Contoh 5
Tentukan y’ dr y = 4 sin x + 5 cos x
Pembahasan:
y = 4 sin x + 5 cos x
y’ = 4 (cos x) + 5 (−sin x)
y ‘ = 4 cos x − 5 sin x
Contoh 6
Tentukan turunan dari
y = 5 cos x − 3 sin x
Pembahasan:
y = 5 cos x − 3 sin x
y’ = 5 (−sin x) − 3 (cos x)
y’ = −5 sin x − cos x
Contoh 7
Tentukan turunan dari:
y = sin (2x + 5)
Pembahasan:
Dengan aplikasi turunan berantai maka untuk
y = sin (2x + 5)
y ‘ = cos (2x + 5) ⋅ 2 → Angka 2 diperoleh dr menurunkan 2x + 5
y’ = 2 cos (2x + 5)
Contoh 8
Tentukan turunan dr y = cos (3x −1)
Pembahasan:
Dengan aplikasi turunan berantai maka untuk
y = cos (3x − 1)
y ‘ = − sin (3x −1) ⋅ 3 → Angka 3 diperoleh dr menurunkan 3x − 1
Hasil kesudahannya ialah
y’ = − 3 sin (3x − 1)
Contoh 9
Tentukan turunan dari:
y = sin2 (2x −1)
Pembahasan:
Turunan berantai:
y = sin2 (2x −1)
y’ = 2 sin 2−1 (2x −1) ⋅ cos (2x −1) ⋅ 2
y’ = 2 sin (2x −1) ⋅ cos (2x −1) ⋅ 2
y’ = 4 sin (2x −1) cos (2x −1)
Contoh 10
Diketahui f(x) = sin3 (3 – 2x)
Turunan pertama fungsi f yaitu f ‘ maka f ‘(x) =….
Pembahasan
f(x) = sin3 (3 – 2x)
Turunkan sin3 nya,
Turunkan sin (3 – 2x) nya,
Turunkan (3 – 2x) nya,
Hasilnya dikalikan semua mirip ini:
f(x) = sin3 (3 – 2x)
f ‘ (x) = 3 sin 2 (3 − 2x) ⋅ cos (3 − 2x) ⋅ − 2
f ‘ (x) = −6 sin 2 (3 − 2x) ⋅ cos (3 − 2x)
Sampai sini sudah selesai, namun di opsi belum terlihat, diotak-atik lagi pakai bentuk sin 2θ = 2 sin θ cos θ
f ‘ (x) = −6 sin 2 (3 − 2x) ⋅ cos (3 − 2x)
f ‘ (x) = −3 ⋅ 2 sin (3 − 2x) ⋅ sin (3 – 2x) ⋅ cos (3 − 2x)
f ‘ (x) = −3 ⋅ 2 sin (3 − 2x) ⋅ cos (3 – 2x) ⋅ sin (3 − 2x)