Logaritma Matematika – Blog Ilmu Pengetahuan

Daftar Isi

Pengantar Rumus logaritma matematika

http://soulmath4u.blogspot.com/2014/01/logaritma-matematika.html

logaritma matematika peranannya penting sekali dalam matematika, logaritma banyak digunakan dalam berbagai cabang ilmu seperti fisika, kimia, biologi dll. Logaritma sering dipakai untuk pembuktian rumus, dalam kalkulus serta dalam perhitungan aljabar. Di jenjang yang lebih tinggi logaritma matematika juga digunakan dalam perhitungan limit, fungsi logaritma, turunan dan integral.

Pengertian Logaritma matematika dasar

Logaritma merupakan kebalikan atau invers dari bentuk perpangkatan. Secara baku definisi dari logaritma adalah :

$http://soulmath4u.blogspot.com/2014/01/logaritma-matematika.html$

Ket :

a = Bilangan pokok / basis logaritma

b = Numerus atau ‘bilangan yang dicari logaritmanya’

c = Hasil dari logaritma

Untuk memahami logaritma matematika sebagai kebalikan dari bentuk perpangkatan, perhatikan contoh-contoh berikut,

Contoh soal logaritma matematika dan eksponen

1. Nyatakan bentuk pangkat dibawah ini dalam logaritma

$\\(a).\, 2^{5}=32\\\\(b).\, 4^{-2}=\frac{1}{16}\\\\(c).\, 5^0=1$

[Penyelesaian]

$\\(a).\, 2^{5}=32\Leftrightarrow log_{2}\, 32=5 \\\\(b).\, 4^{-2}=\frac{1}{16}\Leftrightarrow log_{4}\, \frac{1}{16}=-2\\\\(c).\, 5^0=1\Leftrightarrow log_{5}\, 1=0$

2. Nyatakan bentuk logaritma berikut ini dalam bentuk pangkat atau eksponen,

$\\(a).\, log_{2}\, 8=3 \\\\(b).\, log_{3}\,\sqrt{3}=\frac{1}{2}\\\\(c).\, log_{5}\,\frac{1}{625}=-4$

[Penyelesaian]

$\\(a).\, log_{2}\, 8=3\Leftrightarrow 2^{3}=8 \\\\(b).\, log_{3}\,\sqrt{3}=\frac{1}{2}\Leftrightarrow 3^{\frac{1}{2}}=\sqrt{3}\\\\(c).\, log_{5}\,\frac{1}{625}=-4\Leftrightarrow 5^{-4}=\frac{1}{625}$

Contoh soal logaritma matematika dan pembahasannya

1. Tentukanlah nilai x setiap logaritma matematika berikut ini :

$\\(a).\, log_{4}\, 64=x \\\\(b).\, log_{2}\,32=x\\\\(c).\, log_{3}\,x=4\\\\(d).\, log_{x+1}\, 16=2$

[Penyelesaian]

$\\(a).\, log_{4}\, 64=x \Leftrightarrow 4^{x}=64\Leftrightarrow 4^{x}=4^{3},\, {\color{Red} x=3}\\\\(b).\, log_{2}\,32=x\Leftrightarrow 2^x=32\Leftrightarrow 2^x=2^5,\, {\color{Red} x=5}\\\\(c).\, log_{3}\,x=4\Leftrightarrow 3^4=x,\, {\color{Red} x=81}\\\\(d).\, log_{x+1}\, 16=2\Leftrightarrow (x+1)^2=16\Leftrightarrow x+1=4,\, {\color{Red} x=3}\, [\because x>-1]$

2. Hitunglah hasil dari logaritma dibawah ini,

$\\(a).\, log_{4}\, \frac{1}{64}+log_{2}\, 16\, -\, log_{3}\, 27\\\\\Leftrightarrow log_{4}\, 4^{-3}+ log_{2}\, 2^4- log_{3}\, 3^3\\\\\Leftrightarrow -3+4-3={\color{Red} -2}$

$\\(b).\, log_{5}\, \frac{1}{25}\, +\, log_{3}\, 1\, -\, log_{\sqrt{3}}\, 81\\\\\Leftrightarrow log_{5}\, 5^{-2}\, +\, 0\, -\, 8\\\\\Leftrightarrow -2+0-8={\color{Red} -10}$

Rumus dan Sifat-sifat Logaritma Matematika

Sifat-sifat Logaritma

$http://soulmath4u.blogspot.com/2014/01/logaritma-matematika.html$

$\\(3)\, {\color{Red} log_ {a}\, b^{n}=}{\color{Red} n\times log_{a}\, b}\\\\ \Leftrightarrow Jika\, log\, 2=a\, dan\, log\, 5=b \,, nyatakan\, log\, 64\, +\, log\, \sqrt[3] {25}\, dalam\, a\, dan\, b\\\\\Leftrightarrow log \, 64\, +\, log\, \sqrt[3]{25}= log\, 2^{6}+log \, 5^{\frac{2}{3}}=6\times log\, 2+\frac{2}{3}\times log\, 5= {\color{DarkBlue} 6a+\frac{2}{3}b}$

$http://soulmath4u.blogspot.com/2014/01/logaritma-matematika.html$

Soal-soal logaritma matematika kelas 10 dalam kehidupan sehari-hari dan pembahasannya

Dengan menggunakan sifat-sifat logaritma matematika diatas, akan kita pakai untuk menyelesaikan soal-soal dibawah ini.

1. Diketahui, $log_{2}\, 3=a,\, log_{3}\, 7=b\, \, hitunglah\, \, log_{14}\, 56$

[Penyelesaian]

$\\\Leftrightarrow log_{14}\, 56=\frac{ log_{3}\, 56}{log_{3}14}\\\\\Leftrightarrow \frac{log_{3}(2^3\times7)}{log_{3}(2\times7)}=\frac{3\times log_{3}2+log_{3}\, 7}{log_{3}\, 2+log_{3}\, 7}\\\\\Leftrightarrow \frac{\frac{3}{a}+b}{\frac{1}{a}+b}={\color{Red} \frac{3+ab}{1+ab}}$

2. Hitunglah hasil dari , $(log_{2}\, 3+log_{4}\, 9)(log_{3}\, 2+log_{9}\, 4)$

[Penyelesaian]

Ubahlah terlebih dahulu kedalam basis 2 atau basis 3, dalam penyelesaian ini akan diubah kebasis 2

$\\=(log_{2}\, 3+log_{4}\, 9)(log_{3}\, 2+log_{9}\, 4)\\\\=\left ( log_{2}\, 3+\frac{log_{2}9}{log_{2}4} \right )\left (\frac{1}{log_{2}3}+ \frac{log_{2}4}{log_{2}9} \right )\\\\=\left ( log_{2}\, 3 \right +\frac{2 log_{2}3}{2})\left (\frac{1}{log_{2}3}+\frac{2}{2log_{2}3} \right )=2log_{2}3\, \times \, \left ( \frac{2}{log_{2}3}\right )=4$

3. Hitunglah persamaan logaritma matematika dibawah ini, $log_{10} x+log_{10}(x+3)=1$

[Penyelesaian]

Gunakan sifat logaritma No 1, untuk ruas kiri persamaan

$http://soulmath4u.blogspot.com/2014/01/logaritma-matematika.html$

Karena x > 0 dan x +3> 0, ingat bahwa antilogaritma > 0.

Maka harus dipenuhi x > 0, Jadi penyelesaiannya adalah x = 2

4. Tentukanlah x pada persamaan logaritma, $2log_{2}x-3log_{x} 2+5=0$

[Penyelesaian]

Sifat logaritma matematika yang digunakan untuk menyelesaikan persamaan logaritma ini adalah sifat No 8

Kita misalkan, $log_{2}x=a$

$\\ \Leftrightarrow 2log_{2}x-3log_{x}2+5=0\\\\\Leftrightarrow 2log_{2}x-3\times \frac{1}{log_{2}x}+5=0\\\\\Leftrightarrow 2a-\frac{3}{a} +5=0\Leftrightarrow 2a^2+5a-3=0\\\\\Leftrightarrow (2a-1) (a+3)\, \, \therefore a=\frac{1}{2}\, atau\, a=-3$
$\\\Leftrightarrow jika\, \, a=\frac{1}{2}\\\\ log_{2}x=\frac{1}{2}\Rightarrow \, \therefore {\color{Red} x=\sqrt{2}}\\\\\Leftrightarrow jika\, \, a=-3\Leftrightarrow log_{2}x=-3\Rightarrow \, \, \therefore {\color{Red} x=\frac{1}{8}}$

5. Pada $\left ( \frac{1}{6} \right )^{20}$ tentukan pada desimal keberapakah angka bukan nol pertama kali muncul? Jika diketahui , $log_{10}2=0,3\, \, dan\, \, log_{10}3=0,47$

[Penyelesaian]

$\\=log_{10}\left (\frac{1}{6} \right )^{20}\\\\=log_{10}(6^{-1})^{20}\Leftrightarrow log_{10}\, 6^{-20}\Leftrightarrow =-20\times log_{10}(2\times3)\Leftrightarrow -20(log_{10}2+log_{10}3)\\\\ =-20\times(0,3+0,47)=-15,56\approx -16$

Jadi , $10^{-16}< \left ( \frac{1}{6} \right )^{20}< 10^{-15}$

Jadi angka bukan nol pertama kali muncul pada desimal ke 16.

6. Volume sebuah bola, $V=10 000\, cm^3$ . Tentukan panjang jari-jari bola tersebut, jika π = 3,14

[Penyelesaian]

$\\\Leftrightarrow V=\frac{4}{3}\pi r^3\Leftrightarrow 3V=4\pi r^3\\\\\Leftrightarrow r^3=\frac{3V}{4\pi}\Leftrightarrow r=\sqrt[3]{\frac{3V}{4\pi}}=\left ( \frac{3V}{4\pi} \right )^{\frac{1}{3}}\\\\\Leftrightarrow r=\left ( \frac{3\times10000}{4\times 3,14} \right )^{\frac{1}{3}}$
$\\\Leftrightarrow log \, r=log\left ( \frac{3\times10000}{4\times 3,14} \right )^{\frac{1}{3}}\Leftrightarrow log \, r=log\left ( \frac{3\times10000}{12,56} \right )^{\frac{1}{3}}\\\\\Leftrightarrow log\, r=\frac{1}{3}\times (log\, 30000-log\, 12,56)=\frac{1}{3}\times (4,47-1,09)=1,126\\\\\Leftrightarrow {\color{Red} r=13,37}{\color{Blue} \Leftarrow antilog\, dari\, 1,126}$

∴ jari – jari bola adalah 13,37