Menentukan Persamaan fungsi Kuadrat

Menentukan persamaan fungsi kuadratsecara garis besar dapat dibagi menjadi tiga bentuk umum yaitu :

Menentukan persamaan fungsi kuadrat yang diketahui titik ekstrem P (x_p,y_p) dan sebuah titik

A ( x, y ).

Dengan rumus :
$y=a\left ( x-x_{p} \right )^{2}+y_{p}\, ...rumus\, \left ( 1 \right )$

Cara ini dikenal dengan teknik melengkapkan kuadrat sempurna, jadi teknik tersebut harus dikuasai terlebih dahulu ya, sebelum mempelajari materi ini. Agar lebih jelas bagaimana penerapan rumus diatas dalam menyelesaikan soal , perhatikan contoh-contoh dibawah ini.

Contoh 1 :

Tentukan persamaan fungsi kuadrat dengan titik puncak ( 2, 1 ) dan melalui titik ( 0, 5) dan gambarkan grafiknya.

[Penyelesaian]

Karena titik puncaknya ( 2, 1 ) ,maka sesuai dengan rumus (1),

$y=a\left ( x-2 \right )^{2}+1,\, karena\, melalui\, \left ( 0,5 \right )\\5=a\left ( 0-2 \right )^{2}+1\\5=4a+1\\a=1$

Jadi persamaan fungsi kuadrat nya adalah,
$y=\left ( x-2 \right )^{2}+1\Leftrightarrow y=x^{2}-4x+5$

Gambar grafiknya seperti dibawah ini:

Contoh 2 :

Tentukanlah persamaan fungsi kuadrat yang memenuhi kondisi berikut, sumbu simetri x = -2

Dan parabola melalui titik (0,1) dan (-3,4). Juga gambarkan grafiknya!

[Penyelesaian]

Menentukan persamaan fungsi kuadrat pada contoh ini gunakan rumus (1).

Karena sumbu simetrinya x = – 2, maka di misalkan titik puncaknya (-2,b)

$y=a\left ( x+2 \right )^{2}+b$

Karena parabola melalui titik (0,1) dan (-3,4),

$\left\{\begin{matrix} 1=4a+b\, \, ....(1)\\4=a+b\, \, ......(2) \end{matrix}\right.$

Dari (1) – (2) : a = -1 dan b = 5
Jadi,
$y=-1\left ( x+2 \right )^{2}+5\Leftrightarrow y=-x^{2}-4x+1$
Grafiknya sebagai berikut :

Gimana..?? gampang kan…^_^ masih banyak sih sebenarnya variasi soal tentang menentukan persamaan fungsi kuadrat. Tapi gak dibahas semua disini ya…^-^

Menentukan persamaan fungsi kuadrat jika diketahui titik potong dengan sumbu x yaitu A(x₁,0) dan B (x₂,0) serta melalui sembarang titik C (x,y). Rumusnya seperti dibawah ini:

$http://soulmath4u.blogspot.com/$

Untuk lebih jelasnya langsung aja ya, ke contoh soalnya.

Contoh 3 :

Tentukan persamaan fungsi kuadrat melalui titik ( 1,0) dan ( 4,0) serta titik (0,-4) dan gambarlah grafiknya!

[Penyelesaian]

Karena parabola tersebut memotong sumbu x di titik ( 1,0) dan ( 4,0) maka,

$y=a\left ( x-1 \right )\left ( x-4 \right )$

Karena parabola melalui titik (0,-4), maka

$\begin{matrix} -4=a\left ( 0-1 \right )\left ( 0-4 \right )\\-4=4a\\ a=-1 \\\therefore y=-\left ( x-1 \right )\left ( x-4 \right )\, atau\,y=-x^{2}+5x-4 \end{matrix}$

Gambar grafiknya yaitu:

Menentukan persamaan fungsi kuadrat, jika diketahui tiga titik sembarang yaitu A (x₁,y₁),

B (x₂,y₂) dan C (x₃,y₃). Menggunakan rumus sebagai berikut:

$http://soulmath4u.blogspot.com/$

Simak contohnya dibawah ini ya!

Contoh 4 :

Tentukan persamaan grafik fungsi kuadrat yang melalui tiga titik berikut ini (-3,5), (0,-1), dan (1,5), kemudian gambarkan grafiknya!

[Penyelesaian]

Menentukan Persamaan fungsi Kuadrat ,dengan menggunakan rumus (3), misalkan ,

$y=ax^{2}+bx+c$

Karena grafik melalui (-3,5), (0,-1), dan (1,5), subtitusikan masing-masing titik tersebut maka diperoleh tiga buah persamaan linier sebagai berikut:

$\left\{\begin{matrix} 9a-3b+c=5....(1)\\c=-1.................(2) \\a+b+c=5........(3) \end{matrix}\right.$

Dengan metode eliminasi atau subtitusi dari (1),(2) dan (3) maka di peroleh a = 2 , b = 4 dan c = -1

Jadi, kembali subtitusikan nilai a, b dan c yang telah diperoleh ke rumus (3) sehingga diperoleh:

$\begin{matrix} y=2x^{2}+4x-1\\y=2\left ( x+1 \right )^{2}-3 \end{matrix}$

Kalau grafiknya seperti gambar dibawah ini:

Mudah-mudahan bermanfaat ya, dan teman-teman dapat menentukan persamaan fungsi kuadrat dari contoh-contoh soal diatas. Dibawah ini diberikan contoh tambahan yang biasanya contoh-contoh variasi soal bagaimana menentukan persamaan fungsi kuadrat yang sering di jumpai pada soal-soal ujian nasional SMP dan SMA / SMK bahkan pada soal-soal SNMPTN.

Contoh 5 :

Soal Ujian saringan masuk Universitas Parahiyangan Bandung:

Diketahui bahwa parabola y = 2 x² – m x -10 dan parabola y = x² + m x + 5 ,berpotongan dititik

( x₁,y₁ ) dan ( x₂, y_{2 )}, jika x₁ – x₂ = 8. Tentukan nilai m.

[Penyelesaian]

$http://soulmath4u.blogspot.com/$

Subtitusikan (1) ke (2),

$\begin{matrix} 2x^{2}-mx-10=x^{2}+mx+5\\x ^{2}-2mx-15=0\, ............\left ( 3 \right ) \end{matrix}$

Dari persamaan kuadrat ini, dari hubungan akar-akar dan koefisien diperoleh:

$x_{1}+x_{2}=2m$

Maka kembali diperoleh dua persamaan linier dua variabel yaitu,

$\begin{matrix} x_{1}-x_{2}=8\, ....\left ( 1 \right )'\\ x_{1}+x_{2}=2m\, ...\left ( 2 \right )' \end{matrix}$

Dari (1)’ dan (2)’ dengan metode subtitusi atau eliminasi diperolehR ,

$x_{1}=m+4, \, subtitusikan\, ke\, \left ( 3 \right ):$
$\begin{matrix} x^{2}-2mx-15=0\\ \left ( m+4 \right )^{2}-2m\left ( m+4 \right )-15=0 \\ -m^{2}+1=0 \\ m=\pm \, 1 \end{matrix}$

Contoh 6 :

Menentukan persamaan fungsi kuadrat jika diketahui gambarnya, misalnya:

Tentukan persamaan fungsi kuadrat untuk gambar dibawah ini, dengan x E R.

[Penyelesaian]

menentukan persamaan fungsi kuadrat seperti gambar diatas, sama seperti contoh 3

titik potong dengan sumbu x yaitu ( -2,0) dan ( 4,0)

maka,
$\begin{matrix} y=a\left ( x-x_{1} \right )\left ( x-x_{2} \right )\\y=a\left ( x+2 \right )\left ( x-4 \right ) \end{matrix}$

Dan melalui ( 0,5), maka,

$\begin{matrix} 5=a\left ( 0+2 \right )\left ( 0-4 \right )\\ 5=-8a \\ a=-\frac{5}{8} \end{matrix}$

$Jadi\, ,y=-\frac{5}{8}\left ( x+2 \right )\left ( x-4 \right )\, atau\, y=-\frac{5}{8}x^{2}+\frac{5}{4}x+5$

Contoh 7 :

Jika garis x = -a adalah sumbu simetri parabola y = a x² + ( a + 1) x -3. Tentukanlah nilai a yang memenuhi persamaan parabola tersebut.

[Penyelesaian]

Persamaan sumbu simetri parabola y = a x² + ( a + 1) x -3 adalah,

$http://soulmath4u.blogspot.com/$

Maka,

$\begin{matrix} -a=\frac{-\left ( a+1 \right )}{2a}\\ 2a^{2}-a-1=0 \\\left ( a-1 \right )\left ( 2a+1 \right )=0 \\Jadi,\, a=1\, atau\, a=-1/2 \end{matrix}$

Untuk menguasai materi menentukan persamaan fungsi kuadrat, juga harus menguasai materi fungsi kuadrat dan grafiknya. Selamat berlatih, semoga artikel ini bermanfaat dan mampu menguasai cara dalam menentukan persamaan fungsi kuadrat.