Fungsi Komposisi dan Invers

Daftar Isi

Fungsi Komposisi dan Invers : Pengertian Fungsi Komposisi

Fungsi komposisi dan invers – Jika terdapat dua buah fungsi misalkan f(x) dan g(x) maka dapat dibentuk fungsi baru dengan menggunakan prinsip operasi komposisi. Operasi komposisi ditulis dengan notasi atau lambang ○ ( dibaca : komposisi atau bundaran).

Fungsi baru yang diperoleh dibentuk dari operasi komposisi fungsi, yaitu:

(i) (f○g)( x ), dibaca : f komposisi g x atau f g x

(ii) (g○f)(x), dibaca : g komposisi f x atau g f x.

Perhatikan gambar dibawah ini:

Diagram panah fungsi komposisi dan invers

Dari gambar diatas fungsi g : A ⟶ B. Tiap x ℰ A dipetakan ke y ℰ B, sehingga g : x ⟶ yditentukan dengan rumus: y = g ( x ).

Fungsi f : B ⟶ C. Tiap y ℰ B dipetakan ke z ℰ C, sehingga f : y ⟶ z

ditulis dengan rumus z = f(y).

Fungsi h : A ⟶ C. Tiap x ℰ A dipetakan ke z ℰ C, sehingga h : x ⟶ z

ditulis dengan rumus z = h(x).

Fungsi h adalah pemetaan langsung dari himpunan A ke himpunan C. Fungsi h seperti ini disebut komposisi dari fungsi f dan fungsi g , ditulis dengan notasi :

h = f○g atau h(x) = (f○g)(x).

Dari uraianfungsi komposisi dan invers diatas , rumus fungsi komposisi f dan g adalah:

$http://soulmath4u.blogspot.com/$

Dan rumus fungsi komposisi g dan f adalah:

$http://soulmath4u.blogspot.com/$

Agar lebih memahami dan terampil menggunakan rumus fungsi komposisi serta fungsi komposisi dan invers, perhatikan contoh-contoh dibawah ini:

Contoh 1 :

Diketahui f(x) = 4x –1 dan g(x) = x²+2. Tentukanlah :

(a) (f○g)(x)

(b) (g○f )(x)

[Penyelesaian]

(a) (f○g)(x) = f(g(x)) = f(x² +2) = 4( x² +2) –1 =4x²+7

(b) (g○f)(x) =g(f(x))=g(4x –1) = (4x –1)² +2 = 16x²–8x +3

Contoh 2 :

Tentukanlah (f○g○h)(x) jika diketahui f(x) = 3x –2 , g(x) = 4 –x dan
$h\left ( x \right )=\frac{4-x}{3}$

[Penyelesaian]

Bentuk (f○g○h)(x) = (f○g)○h, karena ada tiga fungsi yaitu f , g dan h maka kita tentukan terlebih dahulu (f○g),

$\begin{matrix} \Leftrightarrow \left ( f\circ g \right )\left ( x \right )=f\left ( g\left ( x \right ) \right )\\=f\left ( 4-x \right ) \\ =3\left ( 4-x \right )-2 \\ =-3x+10 \end{matrix}$

Barulah tentukan (f○g)○h, yaitu,

$\begin{matrix} \Leftrightarrow \left ( f\circ g \right )\circ h\left ( x \right )=\left ( f\circ g \right )\left ( \frac{4-x}{3} \right )\\ =-3\left ( \frac{4-x}{3} \right )+10 \\=x+6 \\ \therefore \left ( f\circ g\circ h \right )\left ( x \right )=x+6 \end{matrix}$

Jadi, (f○g○h)(x) = x+6

Fungsi komposisi dan invers – Syarat fungsi komposisi

Berkenaan dengan fungsi komposisi dan invers , tidak semua fungsi dapat di komposisikan ada syarat-syarat tertentu yang harus dipenuhi oleh dua fungsi yang akan dikomposisikan. Perhatikan syarat-syarat fungsi komposisi dibawah ini.

(1) Syarat agar fungsi f dan fungsi g dapat di komposisikan menjadi fungsi komposisi

(f○g)adalah irisan antara domain fungsi f dengan range fungsi g bukan himpunan kosong atau

$http://soulmath4u.blogspot.com/$

(2) Domain (f○g) merupakan himpunan bagian dari domain fungsi g, atau

$D_{\left ( f\circ g \right )}\subseteq D_{g}$

(3) Range fungsi komposisi (f○g) merupakan himpunan bagian dari range fungsi f, atau R

$R_{\left ( f\circ g \right )}\subseteq R_{f}$

Ketiga syarat diatas haruslah benar-benar diperhatikan untuk memahami fungsi komposisi dan invers lebih lanjut.

Contoh 3 :

Diketahui f(x) = 2x –1 dan g(x) = x²-1, tentukanlah nilai a agar (g○f○f )(a) = -1

[Penyelesaian]

$\left ( g\circ f\circ f \right )=\left ( g\circ f \right )\circ f\left ( x \right )$

Tentukan terlebih dahulu (g○f )(x) ,

$\begin{matrix} \Leftrightarrow \left ( g\circ f \right )\left ( x \right )=g\left ( f\left ( x \right ) \right )\\ =g\left ( 2x-1 \right ) \\ =\left ( 2x-1 \right )^{2}-1 \\ =4x^{2}-4x \end{matrix}$
$\begin{matrix} \Leftrightarrow \left ( g\circ f \right )\circ f(x))=\left ( g\circ f \right )\left ( 2x-1 \right )\\ =4\left ( 2x-1 \right )^{2}-4\left ( 2x-1 \right ) \\=16x^{2}-24x+8 \\ \Leftrightarrow \left ( g\circ f\circ f \right )\left ( a \right )=-1 \end{matrix}$
$\begin{matrix} \Leftrightarrow 16a^{2}-24a+8=-1\\ \Leftrightarrow 16a^{2}-24a+9=0 \\ \Leftrightarrow \left ( 4a-3 \right )^{2}=0 \\ \therefore a=\frac{3}{4} \end{matrix}$

Menentukan fungsi jika komposisi dan fungsi yang lain sudah diketahui

Jika fungsi komposisi (f○g) atau (g○f) sudah terlebih dahulu diketahui maka fungsi f dan fungsi g dapat ditentukan. Coba perhatikan beberapa contoh soal fungsi komposisi dan invers dibawah ini :

Contoh 4 :

Diketahui (f○g)(x) = x , tentukan nilai g(x) jika,

$f\left ( x \right )=\frac{x-2}{3x+4}$

[Penyelesaian]

$\begin{matrix} \Leftrightarrow \left ( f\circ g \right )\left ( x \right )=x\\\Leftrightarrow f\left ( g\left ( x \right ) \right ) =x \\ \Leftrightarrow \frac{g\left ( x \right )-2}{3g\left ( x \right )+4}=x \\ \Leftrightarrow g\left ( x \right )-2=3xg\left ( x \right )+4x \end{matrix}$
$\begin{matrix} \Leftrightarrow g\left ( x \right )-3x\, g\left ( x \right )=4x+2\\\Leftrightarrow g\left ( x \right )\left ( 1-3x \right )=4x+2 \\ \therefore g\left ( x \right )=\frac{4x+2}{1-3x} \end{matrix}$

Contoh 5 :

Diketahui g(x) = 4x²–2, tentukan nilai f(2x +1) jika (g○f )(x) = 16x²+16x +2

[Penyelesaian]

↔ (g○f )(x) = 16x² +16x +2

↔ g(f(x)) = 16x² +16x +2

↔ 4 f²(x) –2 = 16x² +16x +2

↔ f²(x) = 4x² +4x+1 = (2x +1)²

↔ f(x) = 2x +1

Jadi, f (2x+1) = 2(2x+1)+1 = 4x +3

Soal-soal tentang fungsi komposisi dan invers banyak sekali ragam dan variasinya, tetapi bagaimanapun bentuk variasi soal tersebut dengan tetap berpegang pada prinsip-prinsip dasarnya tentu saja akan menjadi lebih mudah.

Sifat sifat fungsi komposisi

Beberapa sifat fungsi komposisi yang penting, yaitu :

(1) (f○g)(x) ≠ (g○f )(x), operasi komposisi pada fungsi tidak berlaku sifat komutatif

(2) (f ○(g○h)(x) = ((f○g)○h )(x), operasi komposisi berlaku sifat asosiatif

(3) (f○I)(x) = (I○f )(x) = f(x), I(x)adalah unsur identitas.

Selamat berlatih dan semoga anda terampil menyelesaikan soal-soal yang berhubungan dengan fungsi komposisi dan invers.

Materi Terkait :

Invers fungsi Komposisi