Daftar Isi
. Himpunan penyelesaian dr persamaan 2 sin²x + sin x – 1 = 0, untuk 0° ≤ x ≤ 2π ialah
Penjelasan dgn tindakan:
2sin²x + sinx – 1 = 0 untuk 0° ≤ x ≤ 2π
faktorkan
(2sinx – 1)(sinx + 1) = 0
untuk :
2sinx – 1 = 0
sinx = 1/2
x = 30° = π/6 (kuadran 1)
x = 150° = 5π/6 (kuadran 2)
untuk :
sinx + 1 = 0
sinx = -1
x = 270° = 3π/2 = 9π/6
HP = π/6, 5π/6, 9π/6)
1. Himpunan solusi persamaan 2 sin²x – 8 sin + 5 = 2 cos²x untuk 0 ≤ x ≤ 2π yakni?
2. Himpunan solusi persamaan cos 2x + sin x = 0, untuk 0 ≤ x ≤ 2π
ialah?
[tex] Persamaan \: Trigonometri [/tex]
1.
2 sin²x – 8 sinx + 5 = 2 cos²x
2 sin²x – 8 sinx + 5 = 2 (1 – sin²x)
4sin²x – 8sinx + 3 = 0
(2sinx – 3)(2sinx – 1) = 0
sinx = 3/2 (❌) atau sinx = ½ ✔️
sin x = ½
sin x = sin 30°
1) x = 30° ± n×360°
x = 30°
2) x = (180° – 30°) ± n×360°
x = 150°
HP = 30°, 150° ✔️
2.
cos 2x + sin x = 0
(1 – 2sin²x) + sinx = 0
2sin²x – sinx – 1 = 0
(2sinx + 1)(sinx – 1) = 0
sinx = ½ atau sinx = 1
x = 30°, x = 150° atau x = 90°
HP = 30°, 90°, 150° ✔️
Untuk 0 ≤ x ≤ 360 himpunan penyelesaian dr persamaan √2 Sin x – 1 = 0 adalah
Penjelasan dgn langkah-langkah:
√2sinX -1 =0
sinX=1/√2
X = 45⁰ & 225⁰
1. Himpunan penyelesaian cos 2x – 3 cos x + 2 = 0 untuk 0 ≤ x ≤ 2π adalah….
2. Himpunan solusi persamaan cos 2x – 2 cos x = -1 , 0 ≤ x ≤ 2π yakni…
3. Himpunan solusi persamaan sin² 2x – 2 sin x cos x – 2 = 0, untuk 0° ≤ x ≤ 360° yaitu….
4. himpunan penyelesaian persamaan 2sin² x – 5 sin x – 3 = 0 untuk 0° ≤ x ≤ 360° adalah…….
1. Himpunan solusi cos 2x – 3 cos x + 2 = 0 untuk 0 ≤ x ≤ 2π adalah….
2. Himpunan solusi persamaan cos 2x – 2 cos x = – 1 , 0 ≤ x ≤ 2π adalah…
3. Himpunan solusi persamaan sin² 2x – 2 sin x cos x – 2 = 0, untuk 0° ≤ x ≤ 360° ialah….
4. Himpunan solusi persamaan 2sin² x – 5 sin x – 3 = 0 untuk 0° ≤ x ≤ 360° adalah…….
Jawaban
Pendahuluan
Ini merupakan problem tentang menentukan himpunan solusi dr persamaan kuadrat trigonometri. Sebelum mulai mengolah, ada baiknya kita mengingat kembali beberapa rumus trigonometri yg akan dipakai.
Pembahasan
Rumus sudut rangkap yg digunakan yakni selaku berikut:
[tex]\boxed cos 2x=2cos^2x-1 [/tex]
[tex]\boxed sin 2x=2 sinx cosx [/tex]
Persamaan trigonometri untuk mencari himpunan penyelesaian:
(A). Jika sin x = sin α, maka
[tex]\boxed [I]. x=\alpha+k.360^o ATAU \alpha+k.2\pi [/tex]
[tex]\boxed [II]. x=(180^o-\alpha)+k.360^o ATAU (\pi-\alpha)+k.2\pi [/tex]
(B). Jika cos x = cos α, maka
[tex]\boxed [I]. x=\alpha+k.360^o ATAU \alpha+k.2\pi [/tex]
[tex]\boxed [II]. x=(-\alpha)+k.360^o ATAU (-\alpha)+k.2\pi [/tex]
[tex]\boxed Penyelesaian [/tex]
[1]. cos 2x – 3cos x + 2 = 0 untuk 0 ≤ x ≤ 2π
(2cos²x – 1) – 3cos x + 2 = 0
2cos²x – 3cos x + 1 = 0
(2cos x – 1) (cos x – 1) = 0
cos x = ¹/₂ atau cos x = 1
[tex]\boxed Untuk cos x=\frac 1 2 \rightarrow cos x=cos \frac 1 3 \pi [/tex]
Bagian Pertama [tex]x=\frac 1 3 \pi+k.2\pi[/tex]
Untuk k = 0 ⇒ [tex]x=\frac 1 3 \pi[/tex]
Untuk k = 1 ⇒ x tak menyanggupi alasannya di luar interval (melebihi 2π radian)
Bagian Kedua [tex]x=-\frac 1 3 \pi+k.2\pi[/tex]
Untuk k = 0 ⇒ x tak memenuhi karena di luar interval (menjadi sudut negatif)
Untuk k = 1 ⇒ [tex]x=-\frac 1 3 \pi+2\pi=\frac 5 3 \pi[/tex]
[tex]\boxed Untuk cos x=1\rightarrow cos x=cos 0 [/tex]
Karena sudut 0 radian maka hanya satu cuilan yakni x = 0 + k.2π
Untuk k = 0 ⇒ x = 0
Untuk k = 1 ⇒ x = 2π
[tex]\boxed HP=\ 0,\frac 1 3 \pi,\frac 5 3 \pi,2\pi\ [/tex]
[2]. cos 2x – 2cos x = – 1 untuk 0 ≤ x ≤ 2π
(2cos²x – 1) – 2cos x + 1 = 0
2cos²x – 2cos x = 0
2cos x (cos x – 1) = 0, kedua ruas habis dibagi 2
cos x = 0 atau cos x = 1
[tex]\boxed Untuk cos x=0\rightarrow cos x=cos \frac 1 2 \pi [/tex]
Bagian Pertama [tex]x=\frac 1 2 \pi+k.2\pi[/tex]
Untuk k = 0 ⇒ [tex]x=\frac 1 2 \pi[/tex]
Untuk k = 1 ⇒ x tak menyanggupi alasannya di luar interval (melebihi 2π radian)
Bagian Kedua [tex]x=-\frac 1 2 \pi+k.2\pi[/tex]
Untuk k = 0 ⇒ x tak menyanggupi alasannya adalah di luar interval (menjadi sudut negatif)
Untuk k = 1 ⇒ [tex]x=-\frac 1 2 \pi+2\pi=\frac 3 2 \pi[/tex]
[tex]\boxed Untuk cos x=1\rightarrow cos x=cos 0 [/tex]
Karena sudut 0 radian maka cuma satu serpihan yakni x = 0 + k.2π
Untuk k = 0 ⇒ x = 0
Untuk k = 1 ⇒ x = 2π
[tex]\boxed HP=\ 0,\frac 1 2 \pi,\frac 3 2 \pi,2\pi\ [/tex]
[3]. sin²2x – 2sin x.cos x – 2 = 0 untuk 0° ≤ x ≤ 360°
sin²2x – sin 2x – 2 = 0
(sin 2x – 2)(sin 2x + 1) = 0
sin 2x = -1 menyanggupi
sin 2x = 2 tak memenuhi alasannya adalah nilainya berada di luar interval sinus yakni -1 ≤ x ≤ 1
[tex]\boxed Untuk sin 2x=-1\rightarrow sin x=270 o (Kuadran (III) [/tex]
Bagian Pertama 2x = 270° + k.360°, kedua ruas habis dibagi 2
x = 135° + k.180°
Untuk k = 0 ⇒ x = 135°
Untuk k = 1 ⇒ x = 135° + 180° = 315°
Bagian Kedua 2x = (180° – 270°) + k.360°
2x = -90° + k.360°, kedua ruas habis dibagi 2
x = -45° + k.180°
Untuk k = 0 ⇒ x = 135°
Untuk k = 1 ⇒ x = 315°
[tex]\boxed HP=\ 135^o, 315^o\ [/tex]
[4]. 2sin²x – 5sin x – 3 = 0 untuk 0° ≤ x ≤ 360°
(2sin x + 1) (sin x – 3) = 0
sin x = – ¹/₂ atau sin x = 3
sin x = 3 tak memenuhi alasannya adalah nilainya berada di luar interval sinus yaitu -1 ≤ x ≤ 1
[tex]\boxed Untuk sin x=-\frac 1 2 \rightarrow sin x=210 o (Kuadran III) [/tex]
Bagian Pertama x = 210° + k.360°
Untuk k = 0 ⇒ x = 210°
Untuk k = 1 tak memenuhi alasannya berada di luar interval
Bagian Kedua x = (180° – 210°) + k.360°
x = -30 + k.360°
Untuk k = 1 ⇒ x = 330°
Untuk k = 2 tak menyanggupi alasannya adalah berada di luar interval
[tex]\boxed HP=\ 210^o, 330^o\ [/tex]
Kesimpulan
Dari seluruh pengerjaan di atas, diperoleh himpunan penyelesaian selaku berikut:
[1]. cos 2x – 3cos x + 2 = 0 ⇒ [tex]\boxed HP=\ 0,\frac 1 3 \pi,\frac 5 3 \pi,2\pi\ [/tex]
[2]. cos 2x – 2cos x = – 1 ⇒ [tex]\boxed HP=\ 0,\frac 1 2 \pi,\frac 3 2 \pi,2\pi\ [/tex]
[3]. sin²2x – 2sin x.cos x – 2 = 0 ⇒ [tex]\boxed HP=\ 135^o, 315^o\ [/tex]
[4]. 2sin²x – 5sin x – 3 = 0 ⇒ [tex]\boxed HP=\ 210^o, 330^o\ [/tex]
Pelajari lebih lanjut
1. Kasus sinus jumlah dua sudut diikuti rumus perkalian cosinus wargamasyarakat.org/peran/4978342
2. Kasus tangen jumlah dua sudut wargamasyarakat.org/tugas/7620853
3. Persoalan sudut rangkap wargamasyarakat.org/tugas/12609638
—————————–
Detil Jawaban
Kelas : X
Mapel : Matematika
Bab : Trigonometri
Kode : 10.2.7
Kata Kunci: himpunan, solusi, HP, rumus, sudut, rangkap, persamaan, sin, cos, kuadran, nilai, interval, tidak, memenuhi
Himpunan penyelesaian persamaan 2 sin x-1=sin x untuk 0 ≤x≤2phi
2sinx – 1 = sin x
sin x = 1
x = 90