Contoh Soal Logaritma dan Persamaannya

by

Persamaan Logaritma – Setelah sebelumnya ContohSoal.com sudah membahas bahan wacana Pecahan Desimal. Maka dipertemuan kali ini ContohSoal.com akan membahas bahan perihal persamaan logaritma beserta pengertian, sifat, rumus & pola soalnya. Untuk lebih lengkapnya simak ulasan dibawah ini.

Pengertian Logaritma

Persamaan Logaritma

Logaritma ialah merupakan suatu kebalikan dr suatu perpangkatan. Apabila pada sebuah perpangkatan ac=b, maka dapat dinyatakan dlm logaritma sebagai:

alog b = c

dengan syarat a > 0 dan a \ne 1

Logaritma

Pada penulisan logaritma alog b = c, a disebut bilangan pokok & b disebut bilangan numerus atau bilangan yg dicari nilai logaritmanya (b > 0) & c merupakan hasil logaritma.

Apabila pada nilai a sama dgn 10, maka 10 tak dituliskan sehingga menjadi log b=c. Kemudian bila dr nilai pada bilangan pokoknya e (bilangan eurel) dgn e=2,718281828 maka logaritmanya ditulis dgn logaritma natural & penulisannya mampu disingkat menjadi ln, contohnya elog b = c menjadi:

ln b = c

Berikut ini sejumlah acuan logaritma:

Perpangkatan Contoh Logaritma
21 = 2 2log 2 = 1
20 = 1 2log 1 = 0
23 = 8 2log 8 = 3
2-3 = 8 2log  = – 3
9³/4 =3√3 9log 3 \sqrt 3 = \frac 3 4
103 = 1000 log 1000 = 3

Persamaan Logaritma

Persamaan logaritma merupakan persamaan yg menampung bentuk logaritma, baik variabel x

“>xxselaku tanda logaritma maupun variabel x

“>xx selaku bilangan pokok atau bilangan basis suatu logaritma.

Jika suatu persamaan menampung bentuk logaritma maka ada beberapa sifat yg berlaku pada persamaan logaritma.

  • Jika loga⁡f(x)=loga⁡p

    “>logaf(x)=logaploga⁡f(x)=loga⁡p, maka f(x)=p

    “>f(x)=pf(x)=p asalkan f(x)>0

    “>f(x)>0f(x)>0

  • Jika loga⁡f(x)=logb⁡f(x)

    “>logaf(x)=logbf(x)loga⁡f(x)=logb⁡f(x), dengan a≠b

    “>a≠ba≠b maka f(x)=1

    “>f(x)=1f(x)=1

  • Jika loga⁡f(x)=loga⁡g(x)

    “>logaf(x)=logag(x)loga⁡f(x)=loga⁡g(x), maka f(x)=g(x)

    “>f(x)=g(x)f(x)=g(x) asalkan f(x)>0

    “>f(x)>0f(x)>0 dan g(x)>0

    “>g(x)>0g(x)>0

  • Jika logh(x)⁡f(x)=logh(x)⁡g(x)

    “>logh(x)f(x)=logh(x)g(x)logh(x)⁡f(x)=logh(x)⁡g(x), maka f(x)=g(x)

    “>f(x)=g(x)f(x)=g(x) asalkan f(x)>0,g(x)>0

    “>f(x)>0,g(x)>0f(x)>0,g(x)>0 serta h(x)>0

    “>h(x)>0h(x)>0 dan h(x)≠1

    “>h(x)≠1h(x)≠1

  • Jika logf(x)⁡h(x)=logg(x)⁡h(x)

    “>logf(x)h(x)=logg(x)h(x)logf(x)⁡h(x)=logg(x)⁡h(x), maka beberapa kemungkinan ialah

      1. f(x)=g(x)

        “>f(x)=g(x)f(x)=g(x) dengan syarat h(x)=1,f(x)>0,f(x)≠1,g(x)>0,g(x)≠1

        “>h(x)=1,f(x)>0,f(x)≠1,g(x)>0,g(x)≠1h(x)=1,f(x)>0,f(x)≠1,g(x)>0,g(x)≠1

      2. f(x)=g(x)

        “>f(x)=g(x)f(x)=g(x) dengan syarat h(x)≠1,h(x)>0

        “>h(x)≠1,h(x)>0

Sifat-sifat Logaritma

  • Sifat Logaritma dr Perkalian

Suatu logaritma merupakan hasil penjumlahan dr dua logaritma lain yg nilai kedua numerus-nya merupakan faktor dr nilai numerus awal. Berikut modelnya:

Sifat

 alog p.q = alog p + alog q

dengan syarat a > 0, α ≠ 1 ., p > 0, q > 0.

  • Perkalian Logaritma

Suatu logaritma a dapat dikalikan dgn logaritma b bila nilai numerus logaritma a sama dgn nilai bilangan pokok logaritma b. Maka hasil daril perkalian itu merupakan logaritma gres dgn nilai pokok sama dgn logaritma a, & nilai numerusnya pula logaritma b. Berikut model sifat logaritma nya:

Sifat

 alog b x blog c = alog c

dengan syarat a > 0, .α ≠ 1

  • Sifat Logaritma dr pembagian

Pad suatu logaritma ialah merupakan hasil pejumlahan pada pengurangan dr dua logaritma lain yg nilai kedua numerus-nya merupakan pecahan atau pembagian dr nilai numerus logaritma permulaan. Berikut modelnya:

Sifat

 alog  p/q= alog p – alog q

dengan syarat a > 0, α ≠ 1 ., p > 0, q > 0.

  • Sifat Logaritma Berbanding Terbalik

Suatu logaritma berbanding terbalik dgn logaritma lain yg memiliki nilai bilangan pokok & numerus-nya saling bertukaran. Berikut modelnya:

Sifat

 alog b = 1/ p/bloga

dengan syarat a > 0, α ≠ 1 ..

  • Logaritma Berlawanan tanda

Suatu logaritma berlawanan tanda dgn logaritma yg mempunyai numerus-nya merupakan pecahan terbalik dr nilai numerus logaritma awal. Berikut modelnya:

Sifat

 alog  p/q = – alog q/ p

dengan syarat a > 0, α ≠ 1 ., p > 0, q > 0.

  • Sifat Logaritma Dari Perpangkatan

Suatu logaritma dgn nilai numerus-nya merupakan suatu eksponen (pangkat) dapat dijadikan logaritma baru dgn mengeluarkan pangkatnya menjadi bilangan pengali. Berikut modelnya :

Sifat

 alog bp = p. alog b

dengan syarat a > 0, α ≠ 1 ., b > 0

  • Perpangkatan Bilangan Pokok Logaritma

Suatu logaritma dgn nilai bilangan pokoknya merupakan suatu eksponen (pangkat) mampu dijadikan logaritma gres dgn mengeluarkan pangkatnya menjadi bilangan pembagi. Berikut modelnya:

Sifat

 alogbp = ¹/p. logb

dengan syarat a > 0, α ≠ 1 ..

  • Bilangan Pokok Logaritma Sebanding Perpangkatan Numerus

Suatu logaritma dgn nilai numerus-nya merupakan suatu eksponen (pangkat) dr nilai bilangan pokoknya memiliki hasil yg sama dgn nilai pangkat numerus tersebut. Berikut versi sifat logaritma nya:

Sifat alog ap = p

dengan syarat a > 0 danα ≠ 1 .

  • Perpangkatan logaritma

Yakni merupakan suatu bilangan yg mempunyai pangkat yg berbentuk logaritma, maka hasil pangkatnya ialah merupakan nilai numerus dr logaritma tersebut. Berikut modelnya:

Sifat αªlogm = m

dengan syarat a > 0, α ≠ 1 ., m > 0.

  • Mengubah Basis Logaritma

ialh yg mana pada sebuah logaritma mampu dipecah menjadi perbandingan dua logaritma sebagai berikut:

Sifat plogq =αlogp/αlogq

dengan syarat a > 0, a \ne 1, p > 0, q > 0

Contoh Soal Logaritma & Pembahasan

Contoh Soal 1

Diketahui 3log 5 = x dan 3log 7 = y. maka, nilai dari 3log 245 1/2 merupakan… ?Pembahasan 1

  • 3log 245 ½ = 3log (5 x 49) ½

  • 3log 245 ½ = 3log ((5) ½ x (49) ½)

  • 3log 245 ½ = 3log (5) ½ + 3log (72) ½

  • 3log 245 ½ = \frac 1 2  ( 3log 5 + 3log 7)

  • 3log 245 ½ = \frac 1 2  (x + y)

Kaprikornus, nilai dari 3log 245 1/2 merupakan \frac 1 2  (x + y).

Contoh Soal 2

Jika b = a4, nilai a & b positif, maka nilai alog b – blog a merupakan…?Pembahasan 2

Diketahui bahwa b = a4, maka dapat disubstitusi kedalam perkiraan:

  • alog b – blog a = alog a4  – ^ a^4 log a

  • alog b – blog a = 4 (alog a) – \frac 1 4 ( alog a)

  • alog b – blog a = 4 – \frac 1 4

  • alog b – blog a = 3 \frac 3 4

Jadi, nilai dari alog b – blog a pada soal tersebut adalah 3 \frac 3 4 .

Contoh Soal 3

Jika alog (1- 3log \frac 1 27 ) = 2, maka tentukanlah nilai a.

Jika kita buat nilai 2 menjadi suatu logaritma dgn bilangan pokok logaritmanya merupakan a menjadi alog a2= 2, maka didapat :

  • alog (1- 3log \frac 1 27 ) = 2

  • alog (1- 3log \frac 1 27 ) = alog a2

Sebuah hilai numerus kedua yg mampu menjadi suatu persamaan:

1- 3log \frac 1 27  = a2

  • 3log 3 – 3log \frac 1 27  = a2

  • 3log 3 – 3log 3(-3) = a2

  • 3log \frac 3 3^ (-3)  = a2

  • 3log 34 = a2

4 = a2

Sehingga diperoleh nilai a = 2

 

 

Demikianlah materi pembahasan kali ini mengenai Persamaan logaritma, mudah-mudahan postingan ini bermanfaat bagi teman semua.

  Hasil dari 3√2 ÷ √24 × √48 adalah . . .