Di dlm pemahaman matematika dasar, interpolasi adalah perkiraan suatu nilai tengah dr suatu set nilai yg diketahui. Interpolasi dgn pengertian yg lebih luas merupakan upaya mendefinisikan suatu fungsi dekatan suatu fungsi analitikyang tak dikenali atau pengganti fungsi rumit yg tak mungkin diperoleh persamaan analitiknya.

Masalah biasa interpolasi yaitu menjabarkan data untuk fungsi dekatan, & salah satu tata cara penyelesaiannya dinamakan Metoda prinsip Substitusi.Dalam mata kuliah tata cara numerik ada bahan Interpolasi linear & kuadratik. Materi ini dapat diaplikasikan dlm kehidupan sehari-hari.

Apabila y = f (x) yaitu suatu fungsi dgn nilai-nilai :

Dan bila Φ (x) adalah fungsi sederhana sembarang sedemikian rupa sehingga untuk variable x_o, x_i, … …, x_nmenunjukkan nilai yg nyaris sama dgn f (x), maka bila f (x) digantikan oleh Φ (x) pada interval yg dimengerti, hal ini disebut proses interpolasi & fungsi Φ (x) yaitu rumus interpolasi untuk fungsi.

Fungsi Φ (x) mampu dinyatakan dlm aneka macam bentuk persamaan. Apabila Φ (x) dinyatakan selaku fungsi polinomial P (x), proses disebut interpolasi polinomial atau parabolik, sedangkan bila Φ (x) dinyatakan dlm persamaan fungsi trigonometri, proses disebut interpolasi trigonometri. Bila Φ (x) dinyatakan dlm fungsi eksponensial, polynomial Legendre atau fungsi Bessel atau bentuk fungsi spesifik yang lain, maka penyeleksian bentuk fungsi tersebut didasarkan pada pikiran atau perilaku data yg dianggap cenderung mempunyai pola fungsi-fungsi tersebut.

Daftar Isi

Pengertian Interpolasi

Interpolasi ialah suatu teknik mencari harga suatu fungsi pada suatu titik diantara 2 titik yg nilai fungsi pada ke-2 titik tersebut sudah dimengerti. Interpolasi sendiri terbagi menjadi beberapa macam menurut dgn fungsi & cara penginterpolasiannya.

[Jawaban] Perhatikan Gambar Dua Persegi di Samping

Rumus Interpolasi

Metode Interpolasi

Berikut ini terdapat 4 metode interpolasi, terdiri atas:

Interpolasi Linier

Interpolasi linier merupakan algoritma matematika yg dapat diterapkan untuk menaksir titik harga tengahan melalui suatu garis lurus pada setiap dua titik masukan yg berurutan. Interpolasi ini merupakan polinomial tingkat pertama & melalui suatu garis lurus pada setiap dua titik masukan yg berurutan. Dua titik masukan tersebut dipakai untuk menaksir harga-harga tengahan diantara titik-titik data yg sudah sempurna. Metode yg paling kerap dipakai untuk maksud ini adalah interpolasi polinomial.

Adapun persamaan dari garis lurus tersebut yaitu sebagai berikut:

Untuk memilih nilai dr interpolasi tersebut, dapat dipakai algoritmatika pembuatan mirip dibawah ini:

Tentukan dua titik yg akan dicari penyelesaiannya, dicontohkan sebagai titik P1 (x1,y1) & P2(x2,y2).

Lalu pastikan titik tengah dr kedua titik diatas, misalnya titik X selaku titik tengahnya.

Hitung nilai Y dgn rumus diatas.

Tampilkan nilai titik yg gres.

Interpolasi Kuadratik

Interpolasi kuadratik sebenarnya hampir sama dgn interpolasi linier, namun interpolasi ini menggunakan berpangkat2 dgn memakai 3 titik pada pembentukan sebuah garisnya. Banyak penggunaan interpolasi linier tak maksimum pada penggunaannya saat dipakai pada fungsi yg berpangkat dua, sehinggga interpolasi kuadratik ini pun ada biar fungsi dgn pangkat 2 bisa terselesaikan & mampu dicari titik barunya dgn efektif.

Dari gambar diatas telihat bahwa pada interpolasi ini digunaakan tiga titik, yaitu

P1 (x1, y1), P2 (x2, y2) & P3 (x3, y3)

Sedangkan nilai Q sendiri yakni nilai tengah dr titik yg ada, adapun untuk mencari titik Q(x,y) tersebut mampu diicari dgn memakai rumus selaku berikut :

Adapun untuk mengerjakan soal-soal yg berkaitan dgn interpolasi kuadratik dapat dilakukan dgn menggunakan algoritma pengerjaan selaku beikut :

Tentukan tiga titik yg akan dicari penyelesaiannya, dicontohkan sebagai titik P1 (x1, y1), P2 (x2, y2) & P3 (x3, y3)

Lalu tentukan titik tengah dr kedua titik diatas, contohnya titik P4(x,y) selaku titik tengahnya.

Hitung nilai Y dgn rumus diatas.

Tampilkan nilai titik yg gres.

Interpolasi Polinomial

Interpolasi polynomial dipakai untuk mencari titik-titik antara dr n buah titik P₁(x₁, y₁), P₂(x₂, y₂), P₃(x₃, y₃), …, P_N(x_N, y_N) dgn menggunakan pendekatan fungsi polynomial pangkat n-1:

Masukkan nilai dr setiap titik ke dlm persamaan polynomial di atas & diperoleh persamaan simultan dgn n persamaan & n variable bebas:

Adapun algoritma untuk melaksanakan soal-soal dr interpolasi polinom yakni selaku berikut :

Menentukan jumlah titik N yg dikenali.

Memasukkan titik-titik yamg dikenali P_i=(x_i,y_i) untuk _i=1,2,3,…..,N.

Menyusun augment matrik dr titik-titik yg dimengerti selaku berikut :

Menyelesaikan persamaan simultan dgn augment matriks diatas dgn memakai sistem eliminasi gauss/jordan.

Menyusun koefisien fungsi polynomial menurut solusi persamaan simultan ia atas.

Memasukkan nilai x dr titik yg dimengerti.

Menghitung nilai y dr fungsi polynomial yg dihasilkan

Menghasilkan nilai (x,y)

Interpolasi Lagrange

Interpolasi Lagrange yakni salah satu formula untuk interpolasi berselang tak sama selain formula interpolasi Newton biasa & metoda Aitken. Walaupun demikian mampu dipakai pula untuk interpolasi berselang sama.

Misalkan fungsi y (x) kontinu & diferensiabel sampai turunan (n+1) dlm interval buka (a,b). Diberikan (n+1) titik (x0,y0), (x1,y1), …, (xn,yn) dgn nilai x tak perlu berjarak sama dgn yg lainnya, & akan dicari suatu polinom berderajat n. Untuk pemakaian mudah, formula interpolasi Lagrange mampu dinyatakan sebagai berikut :

Algoritma Interpolasi Lagrange :

Tentukan jumlah titik (N) yg dimengerti

Tentukan titik-titik P_i(x_i,y_i) yang dikenali dgn i=1,2,3,…,N

Tentukan x dr titik yg dicari

Hitung nilai y dr titik yg dicari dgn formulasi interpolasi lagrange

Tampilkan nilai (x,y)

Contoh Soal Interpolasi

Berikut ini terdapat beberapa acuan soal interpolasi, terdiri atas:

Contoh Interpolasi Linier

Cari nilai y untuk titik x=2.1 yg berada diantara titik(1,1.5) dan(3,2.5)

Jawab:

P1 (1,1.5) & P2(3,2.5)

x=2.1

Kaprikornus ditemukan titik terbarunya yakni P3 (2.1,2.5).

Contoh Interpolasi Kuadratik

Cari nilai y untuk titik x=2.5 yg berada diantara titik(1,5), (2,2) & (3,3)

Jawab:

P1
(1,5), P2 (2,2) & P3 (3,3)

x=2.5

Sehingga didapatkan nilai dr titik baru yaitu P4 (2.5 , 2)

Contoh Interpolasi Polinomial

Cari nilai y untuk titik x=3 yg berada diantara Titik-titik (3.2,22), (2.7,17.8), (1,14.2), (4.8,38.3) & (5.6,51.7)

x = 3.2 → a (3.2)³ + b (3.2)² + c (3.2) + d = 22

x = 2.7 → a (2.7)³+ b (2.7)²+ c (2.7) + d = 17.8

x = 1 → a (1)³+ b (1)²+ c (1) + d = 14.2

x = 4.8 → a (4.8)³+ b (4.8)²+ c (4.8) + d = 22

Didapatkan:

a = -0.5275

b = 6.4952

c = -16.117

d = 24.3499

Sehingga persamaan polynomialnya menjadi:

Untuk x = 3 didapatkan nilai y = 20.212

Titik terbaru yg didapat yaitu (3,20.212).

Contoh Interpolasi Lagrange

Yang berkorespondensi dgn y = ¹⁰log x yaitu

Carilah ¹⁰log 301 untuk mengkalkulasikan y(x) = ¹⁰log301 dimana x = 301, maka nilai diatas menjadi

Demikianlah pembahasan perihal Rumus Interpolasi – Pengertian, Metode, Persamaan, Algoritma & Contoh Soal semoga dgn adanya ulasan tersebut mampu memperbesar pengetahuan & pengetahuan anda semua, terima kasih banyak atas kunjungannya. 🙂 🙂 🙂

Baca Juga Artikel Lainnya: